《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

12. (★)如图,每幅图形中的两个图案成轴对称吗？若成轴对称,画出它们的对称轴。

答案： ①成轴对称，对称轴是两只蝴蝶中间位置的竖直方向的直线（过两蝴蝶身体中间点的竖直直线）。
②成轴对称，对称轴是两个三角形中间位置的竖直方向的直线（过两三角形顶点与底边中点连线的中点的竖直直线）。
③成轴对称，对称轴是两个图案中间位置的竖直方向的直线（过两图案尖部中间点和尾部中间点的竖直直线）。
④成轴对称，对称轴是两个笑脸中间位置的竖直方向的直线（过两笑脸眼睛中间点和嘴巴中间点的竖直直线）。

13. (★★)请按要求解决下列问题。
(1)如图①,AB= AC。这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹)；如果不是,请说明理由。
(2)如图②,已知线段AB和点C。求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图过程。
(3)如图③,任意位置的两条线段AB,CD,AB= CD。你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能,请描述操作方法；如果不能,请说明理由。

答案：

(1)如图,作∠BAC 的平分线所在直线为a.(答案不唯一)

(2)如图:

①连接 AC.
②作线段 AC 的垂直平分线,即为对称轴b.
③作点 B 关于直线b的对称点 D.
④连接 CD 即为所求.
(3)能.操作方法:如图,连接 BD;作线段 BD 的垂直平分线,即为对称轴c;作点 C 关于直线c的对称点 E;连接 BE;作∠ABE 的平分线所在直线d,即为对称轴.
故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合.

14. (★★)如图,P是∠AOB内的一点,且点P关于射线OA,OB的对称点为$P_1,P_2,$连接$P_1P_2,$交OA于点M,交OB于点N。
(1)根据题意,把图形补充完整；
(2)若$P_1P_2= 5 cm,$求△PMN的周长。

答案：

(1)如图:

(2)
∵ P与P₁关于 OA 对称,
∴ OA 为线段 PP₁的垂直平分线.
∴ MP=MP₁.
同理 NP=NP₂.
∵ P₁P₂=5 cm,
∴ △PMN 的周长=MP+MN+NP=P₁M+MN+NP₂=P₁P₂=5 cm.

15. (★★)如图,已知△ABC。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠CAB的平分线$l_1,$作出BC的垂直平分线$l_2,l_1$与$l_2$相交于点D(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知AC= 6,AB= 8,作DM⊥AB,交AB于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N,求线段AM的长。

答案：

(1)如图,点 D 即为所求.

(2)连接 DB,DC.
∵ BC 的垂直平分线为l₂,
∴ DB=DC.
∵ ∠CAB 的平分线为l₁,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴ DM=DN,∠DMA=∠DNA=90°.
在Rt△DAM 和Rt△DAN 中,
{DA=DA,
{DM=DN,
∴ Rt△DAM≌Rt△DAN(HL).
∴ AM=AN.
在Rt△DBM 和Rt△DCN 中,
{DB=DC,
{DM=DN,
∴ Rt△DBM≌Rt△DCN(HL).
∴ BM=CN,即 AB - AM=AN - AC.
∴ AB - AM=AM - AC.
∴ AM=$\frac{1}{2}$(AB+AC)=$\frac{1}{2}$×(6+8)=7.