《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

10. (★★)如图,点 D,E 分别在线段 BC,AC 上,连接 AD,BE. 若∠A = 35°,∠B = 25°, ∠C = 50°,则∠1 的度数为 【B】

A.60°
B.70°
C.75°
D.85°

答案： B

11. (★★)(2024·凉山州)如图,在△ABC 中,∠BCD = 30°,∠ACB = 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 的度数是100°.

答案： 100°

12. (★★)如图,在△ABC 中,∠ABD = 24°,∠A = 45°,∠ACE = 12°.
(1)求∠BFC 的度数；
(2)若∠ABC = 90°,求证：∠BCF = $ \frac { 1 } { 2 } $∠CBF.

答案：
(1)由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BFC=∠BEF+∠ABD,∠BEF=∠A+∠ACE,
∴ ∠BFC=∠A+∠ACE+∠ABD=45°+12°+24°=81°.
(2)
∵ ∠ABC=90°,∠ABD=24°,
∴ ∠CBF=∠ABC-∠ABD=66°.
∵ ∠BFC=81°,
∴ ∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=180°-81°-66°=33°.
∴ ∠BCF=$\frac{1}{2}∠CBF$.

13. (★★★)如图①,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,点 A 落在四边形 BCDE 内部 A'处.
(1)猜想∠A,∠1,∠2 之间的关系,并证明.
(2)当点 A 落在四边形 BCDE 外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立？若成立,请说明理由. 若不成立,∠A,∠1,∠2 之间又存在什么关系？并证明.

答案：
(1)∠A,∠1,∠2之间的关系为2∠A=∠1+∠2.证明如下:连接AA'.
∵ 把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE内部A'处,
∴ ∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE.
∵ ∠1是△A'AE的外角,
∴ ∠1=∠EA'A+∠EAA'.同理∠2=∠DA'A+∠DAA'.
∴ ∠1+∠2=∠EA'A+∠EAA'+∠DA'A+∠DAA'.
∴ ∠1+∠2=∠EA'D+∠EAD.
∴ 2∠A=∠1+∠2.
(2)
(1)中的猜想不成立,∠A,∠1,∠2之间的关系为2∠A=∠2-∠1.证明如下:设A'D交AB于点M.
∵ 把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE外部A'处,
∴ ∠A=∠A',∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE.
∵ ∠2是△DMA的外角,
∴ ∠2=∠A+∠AMD.
∵ ∠AMD是△EMA'的外角,
∴ ∠AMD=∠A'+∠1.
∴ ∠2=∠A+∠AMD=∠A+∠A'+∠1.
∴ 2∠A=∠2-∠1.