《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

10. (★)如图,某研究性学习小组为测量学校 $A$ 与河对岸工厂 $B$ 之间的距离,在学校附近选一点 $C$,利用测量仪器测得 $\angle A = 60^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3\mathrm{km}$。据此,可求得学校 $A$ 与工厂 $B$ 之间的距离 $AB$ 等于6$\mathrm{km}$。
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答案： 6

11. (★★)如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $8\mathrm{cm}$,双翼的边缘 $AC = BD = 62\mathrm{cm}$,且与闸机侧立面夹角 $\angle PCA = \angle BDQ = 30^{\circ}$,当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度为 70 cm。
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答案： 70 cm

12. (★★)如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,点 $D$ 在边 $AC$ 上,点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上,若 $ED \perp AC$ 交 $BC$ 于点 $P$,且 $AD = 4$,$BP = 2$,则 $PC$ 的长为 4。
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答案： 4

13. (★★)如图,已知 $\angle AOB = 60^{\circ}$,点 $P$ 在边 $OA$ 上,$OP = 8\mathrm{cm}$,点 $M$,$N$ 在边 $OB$ 上,$PM = PN$,若 $MN = 2\mathrm{cm}$,则 $OM = $3$\mathrm{cm}$。

答案： 3

14. (★★)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 12\mathrm{cm}$,$AC = 10\mathrm{cm}$,$\angle A = 60^{\circ}$,点 $P$ 从点 $B$ 出发以每秒 $2\mathrm{cm}$ 的速度向点 $A$ 运动,点 $Q$ 从点 $A$ 同时出发以每秒 $1\mathrm{cm}$ 的速度向点 $C$ 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动。设运动时间为 $t\mathrm{s}$,当 $\triangle APQ$ 为直角三角形时,$t$ 的值为 3或4.8。
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答案： 3或4.8

15. (★★)如图,灯塔 $C$ 在海岛 $A$ 的北偏东 $75^{\circ}$ 方向,某天上午 $8$ 时,一条船从海岛 $A$ 出发,以 $15\mathrm{n mile/h}$ 的速度由西向东方向航行,$10$ 时整到达 $B$ 处,此时,测得灯塔 $C$ 在 $B$ 处的北偏东 $60^{\circ}$ 方向。
(1)求 $B$ 处到灯塔 $C$ 的距离。
(2)已知在以灯塔 $C$ 为中心,周围 $16\mathrm{n mile}$ 的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险？请说明理由。
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答案：
(1)根据题意,得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(n mile),
∴ ∠C=30°-15°=15°.
∴ ∠BAC=∠C.
∴ BC=AB=30 n mile.
∴ B处到灯塔C的距离为30 n mile.
(2)有触礁危险.理由如下:如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
∵ ∠CBD=30°,BC=30 n mile,
∴ CD= $\frac{1}{2}$BC=15 n mile.
∵ 15＜16,
∴ 若该船继续由西向东航行,有触礁的危险.