《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

13.(★★)已知一个三角形的两条边长分别是$1 cm和2 cm$,一个内角为$40°$.
(1)请你借助图①画出一个满足题设条件的三角形.
(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能,请你借助图②作出所有这样的三角形；若不能,请说明理由.
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是$3 cm和4 cm$,一个内角为$40°$”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有4个.

13.
(1)图略.
(2)能.图略.
(3)4

答案： 13.
(1)图略.
(2)能.图略.
(3)4

14.(★★★)在数学兴趣小组进行活动时,老师提出了这样一个问题：如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8$,$AC = 10$,$D是BC$的中点,求边$BC上的中线AD$的取值范围.
(1)【方法探索】小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：如图①,延长$AD到点E$,使$DE = AD$,连接$BE$.根据“SAS”可以判定$\triangle ADC \cong \triangle EDB$,得出$AC = BE$.这样就能把线段$AB$,$AC$,$2AD转化到\triangle ABE$中.利用三角形三边的关系,即可得出中线$AD$的取值范围是____.
(2)【问题解决】受第(1)题方法的启发,请解决下面问题：如图②,在$\triangle ABC$中,$D是边BC$上的一点,$AE是\triangle ABD$的中线,$CD = AB$,$\angle BDA = \angle BAD$.试说明$AC = 2AE$.

(3)【问题拓展】如图③,$AD是\triangle ABC$的中线,过点$A分别向外作AE \perp AB$,$AF \perp AC$,且$AE = AB$,$AF = AC$.判断线段$EF与AD$的数量关系与位置关系,并说明理由.

答案：
14.
(1)1＜AD＜9
(2)如图,延长AE至点F,使EF=AE,连接DF,则AF=2AE;

∵ AE是△ABD的中线,
∴ DE=BE.
在△EDF和△EBA中,
DE=BE,
∠DEF=∠BEA,
EF=EA,
∴ △EDF≌△EBA(SAS).
∴ DF=AB=CD,∠B=∠EDF.
∵ ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠EDF+∠BDA,∠BAD=∠BDA,
∴ ∠ADC=∠ADF.
在△AFD和△ACD中,
FD=CD,
∠ADF=∠ADC,
AD=AD,
∴ △AFD≌△ACD(SAS).
∴ AF=AC.
∴ AC=2AE.
(3)EF=2AD,EF⊥AD.理由如下:
如图,延长DA交EF于点P,延长AD至点M,使DM=DA,连接BM.

由
(1)可知,△BDM≌△CDA,
∴ BM=CA,∠M=∠CAD.
∴ AC//BM.
∴ ∠BAC+∠ABM=180°.
∵ AC=AF,
∴ BM=AF.
∵ AE⊥AB,AF⊥AC,
∴ ∠BAE=∠CAF=90°.
∴ ∠BAC+∠EAF=180°.
∴ ∠ABM=∠EAF.
在△ABM和△EAF中,
AB=EA,
∠ABM=∠EAF,
BM=AF,
∴ △ABM≌△EAF(SAS).
∴ AM=EF,∠BAM=∠E.
∵ AD=DM,
∴ AM=2AD.
∴ EF=2AD.
∵ ∠BAE=90°,
∴ ∠BAM+∠EAP=90°.
∴ ∠E+∠EAP=90°.
∴ ∠APE=90°.
∴ EF⊥AD.
综上所述,EF=2AD,EF⊥AD.