《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

10. (★★)把多项式 $(x + y)^2 - 12(x + y) + 36$ 分解因式正确的是 【A】
A.$(x + y - 6)^2$
B.$(x + y + 6)^2$
C.$(x - y - 6)^2$
D.$(x - y + 6)^2$

答案： A

11. (★★)分解因式：
(1) $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{9}n^2 = $ $\left(\dfrac{1}{2}m-\dfrac{1}{3}n\right)^{2}$；
(2) $(x + y)^2 - 6(x + y - 1) + 3 = $ $(x+y-3)^{2}$。

答案： （1）$\left(\dfrac{1}{2}m-\dfrac{1}{3}n\right)^{2}$ （2）$(x+y-3)^{2}$

12. (★★)已知 $x^2 - 2x + 1 + |x - y + 3| = 0$,则 $x = $1,$y = $4。

答案： 1 4 提示：由题意，得$(x-1)^{2}+|x-y+3|=0$.所以$x-1=0$，$x-y+3=0$.解得$x=1$，$y=4$.

13. (★★)分解因式：
(1) $x^2y^2 - 2xy + 1$；
(2) $(m - n)^2 + 6(n - m) + 9$；
(3) $m(m - 4) + 4$。

答案： （1）原式$=(xy-1)^{2}$；（2）原式$=(m-n)^{2}-6(m-n)+9=(m-n-3)^{2}$；（3）原式$=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}$.

14. (★★)简便计算：
(1) $198^2 - 396×202 + 202^2$；
(2) $-101×190 + 101^2 + 95^2$。

答案： （1）原式$=198^{2}-2×198×202+202^{2}=(198-202)^{2}=(-4)^{2}=16$；（2）原式$=101^{2}-2×101×95+95^{2}=(101-95)^{2}=36$.

15. (★★★)已知 $a^2 + b^2 + 4a + 2b + 5 = 0$,则 $ab$ 的值为2。

答案： 2 提示：$\because a^{2}+b^{2}+4a+2b+5=0$，$\therefore (a^{2}+4a+4)+(b^{2}+2b+1)=0$，即$(a+2)^{2}+(b+1)^{2}=0$.$\therefore a=-2$，$b=-1$.$\therefore ab=(-2)×(-1)=2$.

16. (★★★)阅读材料：利用公式法,可以将一些形如 $ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$ 的多项式变形为 $a(x + m)^2 + n$ 的形式,我们把这样的变形方法叫作多项式 $ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$ 的配方法。运用多项式的配方法可以解决一些数学问题。比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解。
例：$x^2 + 4x - 5 = x^2 + 4x + (\frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 - 5 = x^2 + 4x + 4 - 9 = (x + 2)^2 - 9 = (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = (x - 1)(x + 5)$。
根据以上材料,利用多项式的配方法解答下列问题：
(1) 分解因式：$x^2 + 2x - 3$；
(2) 求多项式 $x^2 + 6x - 9$ 的最小值。

答案： （1）原式$=x^{2}+2x+1-1-3=(x+1)^{2}-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)$.（2）原式$=x^{2}+6x+\left(\dfrac{6}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{6}{2}\right)^{2}-9=(x+3)^{2}-18$.$\because (x+3)^{2}\geqslant0$，$\therefore (x+3)^{2}-18\geqslant-18$.$\therefore$多项式$x^{2}+6x-9$的最小值为$-18$.