《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

4. (★★)如图,已知在△ABC中,AB= AC,∠BAC= ∠EPF= 90°,∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),给出以下四个结论：①AE= CF；②△EPF是等腰直角三角形；$③2S_{四边形AEPF}= S_{△ABC}；$④BE+CF= EF.其中始终正确的有【B】

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B

5. (★★)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 12,BC= 6,P,Q两点分别在线段AC上和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,且PQ= AB,要使以A,B,C为顶点的三角形和以Q,P,A为顶点的三角形全等,则AP的长为6或12.

答案： 6或12

6. (★★)如图,在△ABC中,∠B= 50°,∠C= 20°,过点A作AE⊥BC于点E,延长EA至点D,使AD= AC,在边AC上截取AF= AB,连接DF.求证：DF= CB.

答案： 在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°.
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°.
∴ ∠DAF=∠AEC+∠C=90°+20°=110°.
∴ ∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l} AF=AB,\\ ∠DAF=∠CAB,\\ AD=AC,\end{array}\right. $
∴ △DAF≌△CAB(SAS).
∴ DF=CB.

7. (★)把两个同样大小的含30°角的直角三角尺按如图所示方式放置,其中M是AD与BC的交点,若CM= 4,则点M到AB的距离为4.

答案： 4

8. (★)如图,点B在直线l上,分别以线段BA的端点为圆心,以BC(小于线段BA)的长为半径作弧,分别交直线l,线段BA于C,D,E三点,再以点E为圆心,CD的长为半径作弧交前面的弧于点F,画射线AF.若∠BAF的平分线AH交直线l于点H,∠ABC= 70°,则∠AHB的度数为35°.

答案： 35°

9. (★★)如图,在△ABC中,AB＜AC,∠BAC的平分线与△ABC的外角∠BCD的平分线相交于点M,延长AB得到射线AE,作射线BM,有下列四个结论：①∠MCD＞∠MAB；②BM= CM；③射线BM是∠EBC的平分线；④∠BMC= 90°-$\frac{1}{2}$∠BAC.其中正确结论的序号是①③④.

答案： ①③④