《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

15. (★★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle BAC = 80^{\circ} $,$ D $ 是边 $ BC $ 上一点(不与点 $ B $,$ C $ 重合),$ \angle DAC $ 和 $ \angle BCA $ 的平分线交于点 $ E $。
(1)若 $ \angle BAD = 20^{\circ} $,则 $ \angle AEC $ 的度数为125°；
(2)记 $ \angle DAE $ 和 $ \angle ACE $ 的度数之和为 $ m $,则 $ m $ 的取值范围为25°＜m＜65°。

答案： 1. （1）
因为$AB = AC$，$\angle BAC=80^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等，$\angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
所以$\angle B=\angle ACB = 50^{\circ}$。
已知$\angle BAD = 20^{\circ}$，则$\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle DAC$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle DAC = 30^{\circ}$，$\angle ECA=\frac{1}{2}\angle ACB = 25^{\circ}$。
在$\triangle AEC$中，根据三角形内角和定理$\angle AEC=180^{\circ}-\angle EAC - \angle ECA$。
把$\angle EAC = 30^{\circ}$，$\angle ECA = 25^{\circ}$代入可得$\angle AEC=180^{\circ}-30^{\circ}-25^{\circ}=125^{\circ}$。
2. （2）
设$\angle BAD=x$，则$\angle DAC = 80^{\circ}-x$，$\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ}) = 50^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle DAC$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle DAE=\frac{1}{2}(80^{\circ}-x)=40^{\circ}-\frac{1}{2}x$，$\angle ACE = 25^{\circ}$。
则$m=\angle DAE+\angle ACE=40^{\circ}-\frac{1}{2}x + 25^{\circ}=65^{\circ}-\frac{1}{2}x$。
因为$0\lt x\lt80^{\circ}$，当$x = 0$时，$m = 65^{\circ}$（取不到）；当$x = 80^{\circ}$时，$m=65^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$（取不到）。
故答案为：（1）$125^{\circ}$；（2）$25^{\circ}\lt m\lt65^{\circ}$。

16. (★★)如图,已知 $ AB = AC = AD $,且 $ AD // BC $。求证：$ \angle C = 2 \angle D $。

答案：
∵ AD//BC，
∴ ∠D = ∠DBC；
∵ AB = AD，
∴ ∠D = ∠ABD.
∴ ∠ABD = ∠DBC.
∴ ∠ABC = 2∠D.
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C.
∴ ∠C = 2∠D.

17. (★★★)如图①和图②,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = \alpha $,$ \angle BCD = 180^{\circ} - \alpha $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $。
(1)如图①,若 $ \alpha = 90^{\circ} $,根据教材中的一个重要性质直接可得 $ DA = CD $,这个性质是____。
(2)问题解决：如图②,求证：$ AD = CD $。
(3)问题拓展：如图③,在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 100^{\circ} $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $。求证：$ BD + AD = BC $。

答案：

(1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)如图,过点D作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC于点F，则∠DEA = ∠DFC = 90°.

∵ BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴ DE = DF.
∵ ∠BAD + ∠C = 180°，∠BAD + ∠EAD = 180°，
∴ ∠EAD = ∠C.
在△DEA和△DFC中，$\begin{cases} \angle DEA = \angle DFC \\ \angle EAD = \angle C \\ DE = DF \end{cases}$
∴ △DEA≌△DFC(AAS).
∴ AD = CD.
(3)如图,在BC上截取BK = BD，连接DK;

∵ AB = AC，∠A = 100°，
∴ ∠ABC = ∠C = 40°.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBK = $\frac{1}{2}$∠ABC = 20°.
∵ BD = BK，
∴ ∠BKD = ∠BDK = 80°.
∴ ∠A + ∠BKD = 180°.
由
(2)的结论，得AD = DK
∵ ∠BKD = ∠C + ∠KDC，
∴ ∠KDC = ∠C = 40°.
过点K作KH⊥AC于点H，易证△DHK≌△CHK.
∴ DK = CK.
∴ AD = DK = CK.
∴ BD + AD = BK + CK = BC.