《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

9. (★)如图,点 $ D $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $ 的延长线上,$ DE // BC $. 若 $ \angle A = 35^{\circ} $,$ \angle C = 24^{\circ} $,则 $ \angle D $ 的度数是【B】

A.$ 24^{\circ} $
B.$ 59^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 69^{\circ} $

答案： B

10. (★★)如图,$ \angle A $,$ \angle 1 $,$ \angle 2 $ 的大小关系是【B】

A.$ \angle A ＞ \angle 1 ＞ \angle 2 $
B.$ \angle 2 ＞ \angle 1 ＞ \angle A $
C.$ \angle A ＞ \angle 2 ＞ \angle 1 $
D.$ \angle 2 ＞ \angle A ＞ \angle 1 $

答案： B

11. (★★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 50^{\circ} $,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ AC $,$ AB $ 上,则 $ \angle 1 + \angle 2 $ 的度数为【B】

A.$ 130^{\circ} $
B.$ 230^{\circ} $
C.$ 180^{\circ} $
D.$ 310^{\circ} $

答案： B

12. (★★)如图,已知 $ \angle A = 60^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle C = 20^{\circ} $,则 $ \angle BDC $ 的度数为$110^{\circ}$.

答案： $110^{\circ}$

13. (★★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $,$ E $ 分别在 $ BC $,$ AB $ 的延长线上,若 $ \angle EBD = 107^{\circ} $,$ \angle CAD = 26^{\circ} $,$ \angle D = 39^{\circ} $,求 $ \angle BAC $ 的度数.

答案： $\because \angle CAD=26^{\circ},\angle D=39^{\circ},$
$\therefore \angle BCA=\angle CAD+\angle D=26^{\circ}+39^{\circ}=65^{\circ}$.
$\because \angle EBD=107^{\circ},$
$\therefore \angle BAC=\angle EBD-\angle BCA=107^{\circ}-65^{\circ}=42^{\circ}$.

14. (★★★)在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 50^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,连接 $ CD $,若 $ \triangle ACD $ 为直角三角形,则 $ \angle BCD $ 的度数为【D】
A.$ 60^{\circ} $
B.$ 10^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 10^{\circ} $或 $ 60^{\circ} $

答案： D

15. (★★★)(1)【初步认识】如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BP $ 平分 $ \angle ABC $,$ CP $ 平分 $ \angle ACB $. 若 $ \angle A = 100^{\circ} $,则 $ \angle P $ 的度数为$140^{\circ}$；如图②,$ BM $ 平分 $ \angle ABC $,$ CM $ 平分外角 $ \angle ACD $,则 $ \angle A $ 与 $ \angle M $ 的数量关系是$\angle A=2\angle M$.
(2)【继续探索】如图③,$ BN $ 平分外角 $ \angle EBC $,$ CN $ 平分外角 $ \angle FCB $. 请探索 $ \angle A $ 与 $ \angle N $ 之间的数量关系.
$\because BN$平分外角$\angle EBC$,$CN$平分外角$\angle FCB$,
$\therefore \angle CBN=\angle EBN=\frac{1}{2}\angle EBC$,$\angle BCN=\angle FCN=\frac{1}{2}\angle FCB$.
$\because \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$,
$\therefore \angle EBC+\angle FCB=180^{\circ}-\angle ABC+180^{\circ}-\angle ACB=360^{\circ}-(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}+\angle A$.
$\therefore \angle N=180^{\circ}-(\angle CBN+\angle BCN)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle EBC+\angle FCB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$.
$\therefore \angle N=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$.
(3)【拓展应用】如图④,$ P $ 是 $ \triangle ABC $ 两内角平分线的交点,$ N $ 是 $ \triangle ABC $ 两外角平分线的交点,延长 $ BP $,$ NC $ 交于点 $ M $. 在 $ \triangle BMN $ 中,存在一个内角等于另一个内角的 3 倍,请直接写出 $ \angle A $ 的度数.
$\angle A$的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$或$135^{\circ}$或$45^{\circ}$.

答案：
(1)$140^{\circ}$ $\angle A=2\angle M$
(2)$\because BN$平分外角$\angle EBC$,$CN$平分外角$\angle FCB$,
$\therefore \angle CBN=\angle EBN=\frac{1}{2}\angle EBC$,$\angle BCN=\angle FCN=\frac{1}{2}\angle FCB$.
$\because \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$,
$\therefore \angle EBC+\angle FCB=180^{\circ}-\angle ABC+180^{\circ}-\angle ACB=360^{\circ}-(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}+\angle A$.
$\therefore \angle N=180^{\circ}-(\angle CBN+\angle BCN)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle EBC+\angle FCB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$.
$\therefore \angle N=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$.
(3)$\angle A$的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$或$135^{\circ}$或$45^{\circ}$.
提示:由题意知,$\angle NBM=90^{\circ}$,$\angle N=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$,$\angle A=2\angle M$,
$\therefore$在$\triangle BMN$中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,有以下几种情况:
①当$\angle NBM=3\angle M$时,$\angle M=30^{\circ}$.
$\therefore \angle A=2\angle M=60^{\circ}$.
②当$\angle NBM=3\angle N$时,$90^{\circ}=3(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)$,
$\therefore \angle A=120^{\circ}$.
③当$\angle M=3\angle N$时,$\frac{1}{2}\angle A=3(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)$,
$\therefore \angle A=135^{\circ}$.
④当$\angle N=3\angle M$时,$90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A=\frac{3}{2}\angle A$,
$\therefore \angle A=45^{\circ}$.
综上所述,$\angle A$的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$或$135^{\circ}$或$45^{\circ}$.