《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

8. ($★★$)如图,$\angle AOB= 15^{\circ}$,$P是OA$上一点,点$Q与点P关于OB$对称,$QM\perp OA于点M$,若$OP= 6$,则$QM$的长为3.

答案： 3

9. ($★$)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$BD\perp AC$,垂足为$D$,$\triangle ABD与\triangle A'BD关于直线BD$对称,点$A的对称点是点A'$,若$\angle A'BC= 14^{\circ}$,则$\angle A$的度数为52°.

答案： 52°

10. ($★$)已知点$(m - 1,n + 2)与点(2m - 4,2)关于x$轴对称,则$(m + n)^{2025}$的值为-1.

答案： -1

11. ($★★$)如图,在$\triangle ABC$中,点$B与点C关于直线DE$对称,直线$DE分别交AB$,$BC于点D$,$E$,连接$CD$,$CD平分\angle ACB$,$\angle A= 60^{\circ}$,则$\angle B$的度数为40°.

答案： 40°

12. ($★$)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C$,$BC= 5$,$S_{\triangle ABC}= 20$,$AD\perp BC于点D$,$EF垂直平分AB$,交$AB于点E$,交$AC于点F$.若$P是EF$上一动点,则$\triangle PBD$的周长的最小值是10.5.

答案： 10.5

13. ($★★$)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAD= 20^{\circ}$,且$AE= AD$,求$\angle CDE$的度数.

答案：
∵AB=AC,AE=AD,
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED.
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD.
∴∠ADE+∠CDE=∠B+20°.
∵∠AED是△CDE的外角,
∴∠AED=∠C+∠CDE.
∴∠ADE=∠C+∠CDE.
∴∠C+∠CDE+∠CDE=∠B+20°.
∴2∠CDE=20°.
∴∠CDE=10°.

14. ($★★$)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 60^{\circ}$,$\angle ACB= 40^{\circ}$,$\angle ABC的平分线BD交边AC于点D$,$E为BC$的中点,连接$DE$.
(1)求证：$\triangle BCD$是等腰三角形；
(2)求$\angle EDC$的度数.

答案：
(1)
∵在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=1/2∠ABC=40°.
∴∠DBC=∠ACB=40°.
∴DB=DC.
∴△BCD是等腰三角形.
(2)
∵∠DBC=∠ACB=40°,
∴∠BDC=180°-40°-40°=100°.
∵DB=DC，E为BC的中点,
∴DE平分∠BDC.
∴∠EDC=1/2∠BDC=50°.