《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

7. (★★)如图,∠ACB= ∠ADB= 90°,AC= AD,E是AB上的一点.求证:CE= DE.

答案：
∵ ∠ACB=∠ADB=90°，
∴ △ABC和△ABD是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AB,\\ AC=AD,\end{array}\right. $
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
∴ ∠CAE=∠DAE.
在△CAE和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ ∠CAE=∠DAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴ △CAE≌△DAE(SAS).
∴ CE=DE.

8. (★★)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD= AB,AE= AC.
(1)求证:BC= DE;
(2)若BF= 2,CF= 1,求DF的长.

答案：
（1）
∵ ∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，
∴ △ABC和△ADE是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ AC=AE,\end{array}\right. $
∴ Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).
∴ BC=DE.
（2）如图，连接AF.

由（1）知，BC=DE.
∵ BF=2，CF=1，
∴ BC=3.
∴ DE=3.
在Rt△AEF和Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} AF=AF,\\ AE=AC,\end{array}\right. $
∴ Rt△AEF≌Rt△ACF(HL).
∴ EF=CF=1.
∴ DF=DE+EF=3+1=4.

9. (★)如图,BC⊥AC,ED⊥AB,BD= BC,AE= 5,DE= 2,则AC的长为【C】

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： C

10. (★★)如图,D是∠MAN内部一点,DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,且DE= DF,B是射线AM上一点,AB= 6,BE= 2,在射线AN上取一点C,使得DC= DB,则AC的长为6或10.

答案： 6或10

11. (★★)如图,AD是△ABC的中线,BE⊥AD于点E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点,连接BG.
(1)求证:BE= CF;
(2)若BG= CA,求证:GA= 2DE.

答案： （1）
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD.
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠BED=∠F=90°.
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BED=∠F,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD,\end{array}\right. $
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ BE=CF.
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l} BG=CA,\\ BE=CF,\end{array}\right. $
∴ Rt△BGE≌Rt△CAF(HL).
∴ GE=AF.
∴ GE - AE=AF - AE，即GA=EF.
由（1）知，△BDE≌△CDF，
∴ DE=DF.
∴ GA=EF=DE+DF=2DE.