《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

14. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $,$ AB = AD $。求证：$ CO $ 垂直平分 $ BD $。

答案： 在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）.
∴ BC=DC.
∴ 点C在BD的垂直平分线上.
∵ AB=AD，
∴ 点A在BD的垂直平分线上.
∴ AC是线段BD的垂直平分线.
∴ CO垂直平分BD.

15. 写出下列各命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立。
(1) 同位角相等；
(2) 如果两个角相等,那么这两个角的补角相等。

答案： （1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角. 逆命题不成立.
（2）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等. 逆命题成立.

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC $ 的垂直平分线与外角 $ \angle EAB $ 的平分线交于点 $ P $,$ PM \perp AB $ 于点 $ M $,$ PN \perp AE $ 于点 $ N $。
(1) 求证：$ BM = CN $；
(2) 若 $ AB = 9 $,$ AC = 5 $,求 $ AM $ 和 $ BM $ 的长。

答案：
（1）如图，连接BP，CP.

∵ AP平分∠EAB，PM⊥AB于点M，PN⊥AE于点N，
∴ PM=PN.
∵ PD垂直平分BC，
∴ PB=PC.
在Rt△BPM和Rt△CPN中，
$\left\{\begin{array}{l} PB=PC,\\ PM=PN,\end{array}\right. $
∴ Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）.
∴ BM=CN.
（2）在Rt△APM和Rt△APN中，
$\left\{\begin{array}{l} AP=AP,\\ PM=PN,\end{array}\right. $
∴ Rt△APM≌Rt△APN（HL）.
∴ AM=AN.
∵ AB=BM+AM=CN+AM=AC+2AM，AB=9，AC=5，
∴ AM=2.
∴ BM=AB - AM=7.