《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

21. (★★)如图,在△ABC 中,BE 是△ABC 的角平分线,点 D 在边 AB 上(不与点 A,B 重合),CD 与 BE 交于点 O.
(1)若 CD 是中线,BC = 7,AC = 5,则△BCD 与△ACD 的周长差为2；
(2)若∠A = 80°,CD 是角平分线,则∠BOC 的度数为130°；
(3)若∠ABC = 62°,CD 是高,求∠BOC 的度数.

答案：
(1)2
(2)130°
(3)
∵ CD是高,
∴ ∠CDB=90°.
∵ ∠ABC=62°,
∴ ∠BCD=90°-62°=28°.
∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠EBC=$\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}× 62°=31°$.在△BOC中,∠BOC=180°-∠EBC-∠BCD=180°-31°-28°=121°.

22. (★★★)如图,直线 x⊥直线 y 于点 O,直线 x⊥AB 于点 B,E 是线段 AB 上一定点,D 为线段 OB 上的一动点(点 D 不与点 O,B 重合),CD⊥DE 交直线 y 于点 C,连接 AC.
(1)当∠OCD = 60°时,求∠BED 的度数.
(2)当∠CDO = ∠A 时,CD⊥AC 吗？请说明理由.
(3)若∠BED,∠DCO 的平分线的交点为 P,当点 D 在线段 OB 上运动时,∠P 的大小是否为定值？若是定值,写出其值,并说明理由；若变化,求其变化范围.

答案：
(1)
∵ 直线x⊥直线y于点O,
∴ ∠COD=90°.
∵ ∠OCD=60°,
∴ ∠CDO=30°.
∵ CD⊥DE,
∴ ∠CDE=90°.
∴ ∠EDB=60°.
∴ ∠BED=30°.
(2)当∠CDO=∠A时,CD⊥AC.理由如下:
∵ 直线x⊥AB,CD⊥DE,
∴ ∠EDB+∠BED=90°,∠EDB+∠CDO=90°.
∴ ∠CDO=∠BED.
∵ ∠CDO=∠A,
∴ ∠BED=∠A.
∴ AC//DE.
∵ DE⊥CD,
∴ CD⊥AC.
(3)∠P的大小为定值,∠P=45°.理由如下:如图,连接PD并延长.
∵ ∠5=∠3-∠1,∠6=∠4-∠2,
∴ ∠5+∠6=∠3+∠4-(∠1+∠2).又
∵ ∠3+∠4=90°,且∠1+∠2=$\frac{1}{2}∠BED+\frac{1}{2}∠DCO=\frac{1}{2}(∠BED+∠DCO)=\frac{1}{2}× 90°=45°$,
∴ ∠5+∠6=90°-45°=45°.
∴ ∠EPC的大小是定值45°,即题中∠P的大小是定值45°.