《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

9. (★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ BE $ 为 $ \triangle ABC $ 的高,$ \angle C = 70^{\circ} $,$ \angle ABC = 48^{\circ} $,那么 $ \angle BFD $ 的度数为【A】

A.$ 59^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 56^{\circ} $
D.$ 22^{\circ} $

答案： A

10. (★★)有下列条件：① $ \angle A + \angle B = \angle C $；② $ \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 $；③ $ \angle A = 90^{\circ} - \angle B $；④ $ \angle A = \angle B = 2 \angle C $；⑤ $ \angle A = 2 \angle B = 3 \angle C $. 其中,能确定 $ \triangle ABC $ 是直角三角形的条件有【B】
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： B

11. (★★)如图,在 $ Rt \triangle ACB $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \triangle ABC $ 的角平分线 $ AD $,$ BE $ 相交于点 $ P $,则 $ \angle APB $ 的度数为【A】

A.$ 135^{\circ} $
B.$ 125^{\circ} $
C.$ 130^{\circ} $
D.$ 120^{\circ} $

答案： A

12. (★★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle C = 62^{\circ} $,$ AE $ 平分 $ \angle BAC $.
(1)求 $ \angle BAE $ 的度数；
(2)若 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ \angle ADF = 74^{\circ} $,求证：$ \triangle ADF $ 是直角三角形.

答案：
(1)$\because \angle B=30^{\circ},\angle C=62^{\circ},$
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-62^{\circ}=88^{\circ}$.
$\because AE$平分$\angle BAC,$
$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×88^{\circ}=44^{\circ}$.
(2)$\because AD\perp BC,$
$\therefore \angle BDA=90^{\circ}$.
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
$\therefore \angle EAD=\angle BAD-\angle BAE=60^{\circ}-44^{\circ}=16^{\circ}$.
$\because \angle ADF=74^{\circ},$
$\therefore \angle ADF+\angle EAD=74^{\circ}+16^{\circ}=90^{\circ}$.
$\therefore \angle AFD=90^{\circ}$.
$\therefore \triangle ADF$是直角三角形.

13. (★★★)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 42^{\circ} $,将其折叠,使点 $ A $ 落在边 $ BC $ 上的 $ A' $ 处,折痕为 $ CD $,则 $ \angle A'DB $ 的度数为$6^{\circ}$.

答案： $6^{\circ}$

14. (★★★)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ BD \perp AC $ 于点 $ D $,点 $ F $ 在 $ AC $ 上,点 $ E $ 在 $ AB $ 的延长线上,连接 $ EF $ 交 $ BC $ 于点 $ G $,且 $ \angle ABC = 2 \angle E $.
(1)试问：$ EF $ 与 $ AC $ 有怎样的位置关系？请说明理由.
(2)若 $ \angle E = 40^{\circ} $,请求出 $ \angle C $ 的度数.

答案：
(1)$EF\perp AC$.理由如下:$\because BD$平分$\angle ABC,$
$\therefore \angle ABC=2\angle ABD$.
$\because \angle ABC=2\angle E,$
$\therefore \angle ABD=\angle E$.$\therefore BD// EF$.
$\therefore \angle ADB=\angle AFE$.
$\because BD\perp AC,$
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$.$\therefore \angle AFE=90^{\circ}$.
$\therefore EF\perp AC$.
(2)$\because \angle E=40^{\circ},\angle ABC=2\angle E,$
$\therefore \angle ABC=80^{\circ}$.
$\because BD// EF,$
$\therefore \angle BGE=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle E=40^{\circ}$.
$\therefore \angle CGF=40^{\circ}$.
由
(1)可知,$\angle AFE=90^{\circ},$
$\therefore \angle GFC=90^{\circ}$.
$\therefore \angle C=90^{\circ}-\angle CGF=50^{\circ}$.