《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

9. (★)计算：$(2 + x)(x - 2) = $$x^{2}-4$；$(3x + 5y)(3x - 5y) = $$9x^{2}-25y^{2}$。

答案： $x^{2}-4$ $9x^{2}-25y^{2}$

10. (★★)下列计算正确的是 【D】
A.$(2x - 3)(2x + 3) = 2x^{2} - 9$
B.$(x - 4)(x + 4) = x^{2} - 4$
C.$(5 - x)(6 + x) = 30 - x^{2}$
D.$(-1 - 4b)(-1 + 4b) = 1 - 16b^{2}$

答案： D

11. (★★)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下四种拼法不能够验证平方差公式的是 【D】

答案： D

12. (★★)计算 $(x - y)(-y - x)$ 的结果是 【A】
A.$-x^{2} + y^{2}$
B.$-x^{2} - y^{2}$
C.$x^{2} - y^{2}$
D.$x^{2} + y^{2}$

答案： A

13. (★★)已知 $a - 3b = 2$,那么代数式 $a^{2} - 9b^{2} - 12b$ 的值是 【C】
A.0
B.2
C.4
D.6

答案： C 提示:$\because a-3b=2,\therefore a^{2}-9b^{2}-12b=(a-3b)(a+3b)-12b=2(a+3b)-12b=2a+6b-12b=2a-6b=2(a-3b)=2×2=4.$

14. (★★)两个正方形的边长之和为 5,边长之差为 2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是10。

答案： 10

15. (★★)计算：$2025^{2} - 2024×2026 = $1,$\left(x^{2} + \dfrac{1}{4}\right)\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2}\right) = $$x^{4}-\frac{1}{16}$。

答案： 1 $x^{4}-\frac{1}{16}$

16. (★★)若 $m^{2} - n^{2} = 3$,则 $(m - n)^{2}(m + n)^{2}$ 的值为9。

答案： 9

17. (★★)如果 $(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1) = 63$,那么 $a + b$ 的值为$\pm 4$。

答案： $\pm 4$

18. (★★★)如图①,从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形.如图②,然后将剩余部分拼成一个长方形.

(1)上述操作能验证的等式是$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。
(2)利用(1)中的等式完成下列各题：
①已知 $4m^{2} = 12 + n^{2}$,$2m + n = 4$,求 $2m - n$ 的值。
②若 $\left(1 - \dfrac{1}{3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3^{4}}\right) = 1 - \dfrac{1}{3^{a}}$,则 $a = $8。
③计算：$\left(1 - \dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1 - \dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4^{2}}\right)\left(1 - \dfrac{1}{5^{2}}\right)…\left(1 - \dfrac{1}{2030^{2}}\right) = $$\frac{2031}{4060}$。
①因为$4m^{2}=12 + n^{2}$,所以$4m^{2}-n^{2}=(2m+n)(2m-n)=12$.因为$2m + n = 4$,所以$2m - n = 3$.

答案：
(1)$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
(2)①因为$4m^{2}=12 + n^{2}$,所以$4m^{2}-n^{2}=(2m+n)(2m-n)=12$.因为$2m + n = 4$,所以$2m - n = 3$. ②8 提示:因为$(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^{2}})(1+\frac{1}{3^{4}})=(1-\frac{1}{3^{2}})(1+\frac{1}{3^{2}})(1+\frac{1}{3^{4}})=(1-\frac{1}{3^{4}})(1+\frac{1}{3^{4}})=1-\frac{1}{3^{8}}=1-\frac{1}{3^{a}}$,所以$a=8$. ③$\frac{2031}{4060}$ 提示：原式=$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1+\frac{1}{5})…(1-\frac{1}{2030})(1+\frac{1}{2030})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×\frac{2029}{2030}×\frac{2031}{2030}=\frac{1}{2}×\frac{2031}{2030}=\frac{2031}{4060}$.