《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

8. (★★)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠B= 30°,AB= 14,AD 平分∠CAB,点 E 在 AC 上,且 AE= 2,M,F 分别是 AD,BC 边上的动点,连接 ME,MF,则 ME+MF 的最小值为 6。
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答案： 1. 首先，根据直角三角形的性质求出$AC$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 14$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AC=\frac{1}{2}AB = 7$。
2. 然后，作点$E$关于$AD$的对称点$E'$：
因为$AD$平分$\angle CAB$，所以点$E'$在$AB$上，且$AE'=AE = 2$。
根据对称性质，$ME = ME'$，则$ME + MF=ME'+MF$。
当$E'$，$M$，$F$三点共线且$E'F\perp BC$时，$ME + MF$的值最小（垂线段最短）。
3. 接着，过$E'$作$E'F\perp BC$于$F$：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$E'F\perp BC$，所以$E'F// AC$。
又因为$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 14$，$AE' = 2$，则$BE'=AB - AE'=14 - 2 = 12$。
在$Rt\triangle BE'F$中，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$E'F=\frac{1}{2}BE'$。
所以$ME + MF$的最小值为$6$。

9. (★★)如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点(点 D 不与点 B,C 重合)。
(1)尺规作图：作直线 MN,使得点 A 与点 D 关于直线 MN 对称,直线 MN 交直线 AC 于点 M,交直线 AB 于点 N(保留作图痕迹,不要求写作法)。
(2)在(1)的基础上,AD 交 MN 于点 P。若 AB+AC= 16,$S_{△ABC}= 24$,当 MP= NP 时,请求出点 D 到直线 AC 的距离。
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答案：

(1)如图，直线MN即为所求.

(2)如上图,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
由对称可知,MN⊥AD.
∵ MP=NP,
∴ AM=AN;
∴ ∠PAM=∠PAN.
∴ DE=DF.
∵ S_{△ABD}= $\frac{1}{2}$AB·DE,S_{△ACD}= $\frac{1}{2}$AC·DF,
AB+AC=16,
∴ S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}= $\frac{1}{2}$(AB+AC)·DF= $\frac{1}{2}$×16DF=8DF.
∵ S_{△ABC}=24,
∴ 8DF=24.
∴ DF=3.
∴ 点D到直线AC的距离为3.

10. (★★★)请阅读以下材料。
如图①,A,B 两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为 a。现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥位置。对于此题,我们可以这样解决：
如图②,把点 A 向下平移 a 个单位长度到点 A',连接 A'B 交$l_2$于点 C；过点 C 作 CD⊥$l_1$于点 D,则 CD 就是造桥位置。
请仿照以上材料解决如下问题：
如图③,A,B 两村之间有两条互相平行的河。一条河宽为 a,另一条河宽为 b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥的位置。
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答案：
如图,MN,EF即为两桥的位置.