《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

14. (★★) 如图,在△ABC中,∠ABC = 90°,D,E分别为边AC,BC上的一点,连接BD,DE,已知AB = EB,AD = ED.
(1) 求证：BD平分∠ABC；
(2) 若∠A = 55°,求证：∠CDE = $\frac{1}{4}$∠ADB.

答案： 14.
(1)在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ BD=BD,\\ AD=ED,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle EBD(SSS).$
$\therefore \angle ABD=\angle EBD,$
即BD平分$\angle ABC.$
(2)在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ },\angle A=55^{\circ },$
$\therefore \angle C=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }.$
∵ $\triangle ABD\cong \triangle EBD,$
$\therefore \angle A=\angle BED=55^{\circ },\angle ADB=\angle EDB.$
∵ $\angle BED$是$\triangle CDE$的一个外角,
$\therefore \angle CDE=\angle BED-\angle C=55^{\circ }-35^{\circ }=20^{\circ }.$
$\therefore \angle ADB=\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle CDE)=\frac {1}{2}× (180^{\circ }-20^{\circ })=80^{\circ }.$
$\therefore \angle CDE=\frac {1}{4}\angle ADB.$

15. (★★★) 如图所示的10×10网格是正方形网格,正方形的顶点称为格点,顶点都在格点上的三角形称为格点三角形. 将与△ABC全等,并与△ABC有且只有一条边重合的格点三角形称为△ABC的“友好格点三角形”.
(1) 画出以AB为公共边的△ABC的所有“友好格点三角形”.
(2) △ABC共有____个“友好格点三角形”.

答案：
15.
(1)如图,$\triangle ABD_{1},\triangle ABD_{2},\triangle ABD_{3}$即为所求.

(2)7 提示:如上图,“友好格点三角形”有$\triangle ABD_{1},\triangle ABD_{2},\triangle ABD_{3},\triangle ACE,\triangle ACF,\triangle ACD_{3},\triangle BCD_{3}$,共7个.

16. (★★★) 如图,方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,则与△DEF全等的格点三角形(△DEF除外)能画____个.

答案：
16. 8 提示:如图,除去$\triangle DEF$,有8个与$\triangle DEF$全等的三角形,分别是$\triangle DAF,\triangle BGQ,\triangle CGQ,\triangle AFH,\triangle FHA,\triangle CRG,\triangle CRK,\triangle KWR.$