《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

17. (★★★)点 $ A $ 在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线 $ l $ 经过点 $ B(-3,0) $ 且平行于 $ y $ 轴。
(1) 点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A_1 $ 的坐标为$(-1,3)$,点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A_2 $ 的坐标为______$(-7,3)$；
(2) 若平面直角坐标系中有一点 $ P(m,n) $,其中 $ m ＞ 0 $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点为 $ P_1 $,点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点为 $ P_2 $,求线段 $ P_1P_2 $ 的长(用含 $ m $ 的式子表示)。

答案：
(1)$(-1,3)$ $(-7,3)$
(2)$\because$ 点$P(m,n)$,其中$m＞0$,点P关于y轴的对称点为$P_{1}$,
$\therefore$ 点$P_{1}$的坐标为$(-m,n).$
设点$P_{2}$的坐标为$(x,n).$
$\because$ 直线l经过点$B(-3,0)$且平行于y轴,点$P_{1}$关于直线l的对称点为$P_{2}$,
①当$P_{1}$在$P_{2}$的右侧时,$-m-(-3)=-3-x.$
$\therefore$ $x=m-6.$
②当$P_{1}$在$P_{2}$的左侧时,$-3-(-m)=x-(-3).$
$\therefore$ $x=m-6.$
综上可知,点$P_{2}$的坐标为$(m-6,n).$
$\therefore$ $P_{1}P_{2}=|m-6-(-m)|=|2m-6|.$