《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

8. (★★)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且满足$(a - b)^2 + |b - c| = 0$,则△ABC是等边三角形.

答案： 等边

9. (★★)如图,在△ABC中,AB= AC,D为边AB的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE= DF. 求证：△ABC是等边三角形.

答案：
∵ D为边AB的中点,
∴ AD=BD.
∵ DE⊥AC,DF⊥BC,
∴ ∠AED=∠BFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中,
$\begin{cases} AD=BD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BDF(HL).
∴ ∠A=∠B.
∴ AC=BC.
∵ AB=AC,
∴ AB=BC=AC.
∴ △ABC是等边三角形.

10. (★)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,BF= BD,则∠CDF的度数是【B】

A.10°
B.15°
C.20°
D.25°

答案： B

11. (★★)一个等边三角形、一个直角三角形和一个等腰三角形如图放置,已知等腰三角形的底角∠3= 70°,则∠1+∠2的度数为【C】

A.135°
B.138°
C.140°
D.150°

答案： C

12. (★★)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,OC,有以下五个结论：①AD= BE；②PQ//AE；③AP= BQ；④DE= DP；⑤OC平分∠AOE. 其中一定成立的结论有①②③⑤(填序号).

答案： 1. 首先证明$AD = BE$：
因为$\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，所以$AC = BC$，$CD = CE$，$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$。
则$\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$，故①正确。
2. 接着证明$PQ// AE$：
由$\triangle ACD\cong\triangle BCE$可得$\angle CAP=\angle CBQ$。
又因为$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$，所以$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCE=60^{\circ}$，即$\angle ACB=\angle BCQ = 60^{\circ}$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BCQ$中，$\begin{cases}\angle CAP=\angle CBQ\\AC = BC\\\angle ACP=\angle BCQ = 60^{\circ}\end{cases}$。
根据$ASA$（角边角）定理，$\triangle ACP\cong\triangle BCQ$，所以$CP = CQ$。
因为$CP = CQ$，$\angle PCQ = 60^{\circ}$，所以$\triangle PCQ$是等边三角形，$\angle PQC=\angle DCE = 60^{\circ}$，所以$PQ// AE$，故②正确。
3. 然后看$AP = BQ$：
由$\triangle ACP\cong\triangle BCQ$，根据全等三角形的对应边相等，可得$AP = BQ$，故③正确。
4. 再看$DE = DP$：
假设$DE = DP$，因为$\triangle CDE$是等边三角形，所以$\angle DCE = 60^{\circ}$，$\angle CDE = 60^{\circ}$。
若$DE = DP$，则$\angle DPC=\angle DCP$，$\angle DPC=\angle DAC + 60^{\circ}$，$\angle DCP\lt60^{\circ}$，所以$DE\neq DP$，故④错误。
5. 最后证明$OC$平分$\angle AOE$：
过点$C$作$CM\perp AD$于$M$，$CN\perp BE$于$N$。
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BCE}$（全等三角形面积相等）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\frac{1}{2}AD\cdot CM=\frac{1}{2}BE\cdot CN$，又因为$AD = BE$，所以$CM = CN$。
根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），所以$OC$平分$\angle AOE$，故⑤正确。
综上，一定成立的结论有①②③⑤。

13. (★★)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 100°,以AC为边,在△ABC的外部作等边三角形ACD,E是AC的中点,连接DE并延长交BC于点F. 求∠DFC的度数.

答案：
∵ AB=AC,∠BAC=100°,
∴ ∠ABC=∠ACB= $\frac{180° - 100°}{2}$=40°.
∵ △ACD是等边三角形,E是AC的中点,
∴ DE⊥AC.
∴ ∠CEF=90°.
∴ ∠DFC+∠ACB=90°.
∴ ∠DFC=90°-∠ACB=90°-40°=50°.