《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

11. (★★)多项式 $x^{a} - y^{2}$(其中 $1 \leq a \leq 6$,且 $a$ 为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则 $a$ 的值可能有 【C】
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种

答案： 11.C

12. (★★)分解因式：
(1) $(y - 8)^{2} - 64 = $ $y(y-16)$；
(2) $x^{4} - y^{2} = $ $(x^{2}+y)(x^{2}-y)$。

答案： 12.
(1)$y(y-16)$
(2)$(x^{2}+y)(x^{2}-y)$

13. (★★)利用平方差公式分解因式：
(1) $y^{2} - \frac{1}{9}z^{2}$；
(2) $(x + y)^{2} - (2x + 3y)^{2}$；
(3) $4(m + n)^{2} - 9(m - n)^{2}$。

答案： 13.
(1)原式$=(y+\frac {1}{3}z)(y-\frac {1}{3}z);$
(2)原式$=[(x+y)+(2x+3y)][(x+y)-(2x+3y)]=(3x+4y)(-x-2y)=-(3x+4y)(x+2y);$
(3)原式$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]=(5m-n)(-m+5n).$

14. (★★)利用因式分解计算：
(1) $101^{2} - 99^{2}$；
(2) $2025^{2} - 625$。

答案： 14.
(1)原式$=(101+99)×(101-99)=200×2=400;$
(2)原式$=2025^{2}-25^{2}=(2025+25)×(2025-25)=2050×2000=4100000.$

15. (★★)如图,某农场修建一座小型水库,需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径 $d = 45$ cm,外径 $D = 75$ cm,长 $l = 300$ cm。利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土。($\pi$ 取 3.14,结果精确到 $0.01$ $m^{3}$)

答案： 15.由题意,得$π[(\frac {1}{2}D)^{2}-(\frac {1}{2}d)^{2}]\cdot l=\frac {1}{4}π(D+d)(D-d)\cdot l\approx \frac {1}{4}×3.14×(75+45)×(75-45)×300=847800(cm^{3}).$因为$847800cm^{3}\approx 0.85m^{3},$所以浇制一节这样的管道约需要$0.85m^{3}$的混凝土.

16. (★★★)计算：$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + … + 2^{2} - 1 = $5050。

答案： 16.5050 提示:$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+… +2^{2}-1^{2}=(100^{2}-99^{2})+(98^{2}-97^{2})+... +(2^{2}-1^{2})=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+... +(2+1)×(2-1)=(100+99)+(98+97)+... +(2+1)=5050.$

17. (★★★)小强是一位密码编译爱好者。在他的密码手册中,有这样一条信息：$a - b$,$x - y$,$x + y$,$a + b$,$x^{2} - y^{2}$,$a^{2} - b^{2}$ 分别对应华、爱、我、中、游、美这六个字。现把 $(x^{2} - y^{2})a^{2} - (x^{2} - y^{2})b^{2}$ 分解因式,结果呈现的密码信息可能是 【C】
A.我爱美
B.中华游
C.爱我中华
D.美我中华

答案： 17.C 提示:原式$=(x^{2}-y^{2})(a^{2}-b^{2})=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b).$由条件可知,$(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)$可表示为“爱我中华”.