《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

13. (★★★)某数学小组在研究式子 $ M^{2} - N^{2} $ 时,发现当 $ M $,$ N $ 是具有某种关联关系的两位数时,具有一定的运算规律：
$ 11^{2} - 11^{2} = 0 $,①
$ 21^{2} - 12^{2} = 1×3×99 $,②
$ 32^{2} - 23^{2} = 1×5×99 $,③
$ 42^{2} - 24^{2} = 2×6×99 $,④
……
根据上述规律,解决下列问题：
(1) 填空：$ 52^{2} - 25^{2} = $ ______ $ ×7×99 $；
(2) 若两位数 $ M $,十位上的数字为 $ a $,个位上的数字为 $ b $,写出你发现的规律,并加以证明；
(3) 小智发现某一式子 $ M^{2} - N^{2}(M ≠ N) $ 的结果恰好是一个整数的平方,直接写出 $ M $ 的值。
(1)3
(2)规律：$(10a+b)^{2}-(10b+a)^{2}=(a-b)×(a+b)×99$（a,b 均为1~9的整数）.证明如下：左边$=100a^{2}+20ab+b^{2}-100b^{2}-20ab-a^{2}$$=99(a^{2}-b^{2})$$=(a-b)×(a+b)×99$=右边，[或：左边$=[(10a+b)-(10b+a)][(10a+b)+(10b+a)]$$=9(a-b)×11(a+b)$$=(a-b)×(a+b)×99=$右边，]故此规律成立.
(3)65

答案： （1）3（2）规律：$(10a+b)^{2}-(10b+a)^{2}=(a-b)×(a+b)×99$（a,b 均为1~9的整数）.证明如下：左边$=100a^{2}+20ab+b^{2}-100b^{2}-20ab-a^{2}$$=99(a^{2}-b^{2})$$=(a-b)×(a+b)×99$=右边，[或：左边$=[(10a+b)-(10b+a)][(10a+b)+(10b+a)]$$=9(a-b)×11(a+b)$$=(a-b)×(a+b)×99=$右边，]故此规律成立.（3）$\because M^{2}-N^{2}(M≠N)$的结果恰好是一个整数的平方，$\therefore 99(a-b)(a+b)$是一个整数的平方.$\because 99(a-b)(a+b)=9×11×(a-b)(a+b),$a,b 均为1~9的整数，$\therefore \left\{\begin{array}{l} a-b=1,\\ a+b=11,\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a-b=4,\\ a+b=11.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=6,\\ b=5,\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{15}{2},\\ b=\dfrac{7}{2}\end{array}\right. $（不合题意，舍去）.所以$M=6×10+5=65.$

14. (★★★)阅读：用“十字相乘法”分解因式 $ 2x^{2} - x - 3 $ 的方法。
(1) 二次项系数 $ 2 = 1×2 $。
(2) 常数项 $ -3 = (-1)×3 = 1×(-3) $。
验算：“交叉相乘之和”。
如图①,$ 1×3 + 2×(-1) = 1 $；
如图②,$ 1×(-1) + 2×3 = 5 $；
如图③,$ 1×(-3) + 2×1 = -1 $；
如图④,$ 1×1 + 2×(-3) = -5 $。

(3) 发现图③“交叉相乘之和”的结果 $ 1×(-3) + 2×1 = -1 $,等于一次项系数,即 $ (x + 1)(2x - 3) = 2x^{2} - 3x + 2x - 3 = 2x^{2} - x - 3 $,则 $ 2x^{2} - x - 3 = (x + 1)(2x - 3) $。
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法。
仿照以上方法分解因式：
(1) $ x^{2} + 8x + 15 $；
(2) $ 3x^{2} - 5x - 12 $；
(3) $ 2(x + 2)^{2} - 6(x + 2) - 8 $。

答案： （1）$x^{2}+8x+15=(x+3)(x+5);$（2）$3x^{2}-5x-12=(3x+4)(x-3);$（3）$2(x+2)^{2}-6(x+2)-8$$=[2(x+2)+2][(x+2)-4]$$=2(x+3)(x-2).$