《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

5. 若 $x$,$y$ 是等腰三角形的两条边的长,且满足 $4x^{2}+10y^{2}-12xy - 4y + 4 = 0$,求 $\triangle ABC$ 的周长。

答案： 5.
∵ $4x^{2}+10y^{2}-12xy-4y + 4 = 0$,
∴ $(4x^{2}-12xy+9y^{2})+(y^{2}-4y + 4)=0,$
即$(2x-3y)^{2}+(y-2)^{2}=0.$
∴ $2x-3y=0,y-2=0.$
解得$x=3,y=2.$
当3为腰,2为底时,$△ABC$的周长为8;
当2为腰,3为底时,$△ABC$的周长为7.
故$△ABC$的周长为8或7.

6. 阅读材料：若 $m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,求 $m$,$n$ 的值。
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,
$\therefore (m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)= 0$,
即 $(m - n)^{2}+(n - 4)^{2}= 0$。
$\therefore (m - n)^{2}= 0$,$(n - 4)^{2}= 0$。
$\therefore m - n = 0$,$n - 4 = 0$。
$\therefore m = 4$,$n = 4$。
根据你的观察,探究下面的问题：
(1) 已知 $P = 2x^{2}+4y + 13$,$Q = x^{2}-y^{2}+6x - 1$,比较 $P$,$Q$ 的大小；
(2) 若 $M = 2(3x^{2}+3x + 1)$,$N = 4x^{2}+2x - 3$,试说明 $M - N$ 为正数。

答案： 6.
(1)由题意知,
$P-Q=2x^{2}+4y + 13-(x^{2}-y^{2}+6x - 1)$
$=x^{2}-6x + 9+y^{2}+4y + 4 + 1$
$=(x-3)^{2}+(y + 2)^{2}+1＞0.$
∵ $(x-3)^{2}≥0,(y + 2)^{2}≥0,$
∴ $(x-3)^{2}+(y + 2)^{2}+1≥1＞0.$
∴ $P＞Q.$
(2)由题意知,
$M-N=2(3x^{2}+3x + 1)-(4x^{2}+2x - 3)$
$=6x^{2}+6x + 2-4x^{2}-2x + 3$
$=2x^{2}+4x + 5$
$=2x^{2}+4x + 2 + 3$
$=2(x^{2}+2x + 1)+3$
$=2(x + 1)^{2}+3.$
∵ $(x + 1)^{2}≥0,$
∴ $2(x + 1)^{2}+3≥3.$
∴ $M-N≥3＞0$，即$M-N$为正数.

7. 若 $a$,$b$,$c$ 为三角形的三条边的长,试证明：$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$ 的值一定为负。

答案： 7. 由题意,得$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$
$=(a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab)$
$=[(a + b)^{2}-c^{2}][(a - b)^{2}-c^{2}]$
$=(a + b + c)(a + b - c)(a - b - c)(a - b + c).$
∵ a,b,c 为三角形的三条边的长,
∴ $a + b + c＞0,a + b - c＞0,a - b - c＜0,a - b + c＞0.$
∴ $(a + b + c)(a + b - c)(a - b - c)(a - b + c)＜0,$
即$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$的值一定为负.

8. 观察下列各式：
$1^{2}+(1×2)^{2}+2^{2}= 9 = 3^{2}$；
$2^{2}+(2×3)^{2}+3^{2}= 49 = 7^{2}$；
$3^{2}+(3×4)^{2}+4^{2}= 169 = 13^{2}$；
……
你发现了什么规律？请直接用含有 $n$($n$ 为正整数)的等式表示出来。

答案： 8. 规律:$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=(n^{2}+n + 1)^{2}.$