《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

7. (★★)如图,已知∠ADC+∠ABC= 180°,DC= BC.求证:点C在∠DAB的平分线上.

答案： 如图,过点C分别作CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,
则∠BEC=∠DFC=90°.
∵ ∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴ ∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,
∠CBE=∠CDF,
∠BEC=∠DFC,
BC=DC,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ FC=EC.
又
∵ CE⊥AB,CF⊥AD,
∴ 点C在∠DAB的平分线上.

8. (★★)如图,E是AB上一点,CA= CD,CB= CE,∠BCE= ∠ACD.求证:EC平分∠BED.

答案：
∵ ∠BCE=∠ACD,
∴ ∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA,
即∠ACB=∠DCE.
在△ABC和△DEC中,
CA=CD,
∠ACB=∠DCE,
CB=CE,
∴ △ABC≌△DEC(SAS).
∴ ∠DEC=∠B.
如图,过点C作CF⊥AB于点F,则∠CFE=∠CFB=90°.
在Rt△CEF和Rt△CBF中,
CE=CB,
CF=CF,
∴ Rt△CEF≌Rt△CBF(HL).
∴ ∠CEB=∠B.
∴ ∠DEC=∠CEB.
∴ EC平分∠BED.

9. (★)在三角形中,到三边距离相等的点是【B】
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.内部任意一点

答案： B

10. (★)如图,O是△ABC内一点,且点O到三边AB,AC,BC的距离相等,即OF= OE= OD.若∠BAC= 100°,则∠BOC的度数是【A】

A.140°
B.130°
C.120°
D.110°

答案： A

11. (★★)如图,在△AOB和△COD中,OA= OB,OC= OD,OA＜OC,∠AOB= ∠COD= 36°,AC与BD交于点M,连接OM.有下列结论:①∠AMB= 36°;②AC= BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数是【B】

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： B

12. (★★)如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修一座油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地方有几处?请在图中画出来,保留作图痕迹,不写画法.

答案：
如图，满足条件的点有4个，图中P₁,P₂,P₃,P₄即为所求.

13. (★★)如图,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若BD= CD,BE= CF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)已知AC= 18,BE= 4,求AB的长.

答案：
(1)
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
BD=CD,
BE=CF,
∴ Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴ DE=DF.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD平分∠BAC.
(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中,
AD=AD,
DE=DF,
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴ AE=AF.
∵ AB=AE - BE=AF - BE=AC - CF - BE,AC=18,BE=CF=4,
∴ AB=18 - 4 - 4=10.