《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

7. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 均在 $\odot O$ 上,$BC$ 为直径,$AD// BC$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,四边形 $ABCD$ 的周长为 $15$.
(1) 求此圆的半径；
(2) 求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)3；
(2)$\frac{3}{2}\pi-\frac{9}{4}\sqrt{3}$

8. 如图,在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,点 $O$ 在斜边 $AB$ 上,半径为 $2$ 的 $\odot O$ 过点 $B$,切 $AC$ 于点 $D$,交 $BC$ 边于点 $E$,求线段 $CD$,$CE$ 及 $\overset{\frown}{DE}$ 围成的阴影部分的面积.

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$

9. 如图,扇形 $ODE$ 的圆心角为 $120^{\circ}$,正三角形 $ABC$ 的中心恰好为扇形 $ODE$ 的圆心,且点 $B$ 在扇形 $ODE$ 内.
(1) 请连接 $OA$,$OB$,并证明 $\triangle AOF\cong\triangle BOG$；
(2) 求证：$\triangle ABC$ 与扇形 $ODE$ 重叠部分的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$.

答案：
(1) 连接OA、OB。
∵O是正△ABC的中心，
∴OA=OB，∠AOB=360°/3=120°。
∵扇形ODE的圆心角∠DOE=120°，
∴∠AOB=∠DOE。
∴∠AOB-∠BOF=∠DOE-∠BOF，即∠AOF=∠BOG。
∵O是正△ABC中心，OA、OB平分∠BAC、∠ABC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAF=∠BAC/2=30°，∠OBG=∠ABC/2=30°，即∠OAF=∠OBG。
在△AOF和△BOG中，
∠OAF=∠OBG，OA=OB，∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（ASA）。
(2) 设重叠部分面积为S。由
(1)知△AOF≌△BOG，
∴S△AOF=S△BOG。
∵∠AOB=120°，∠DOE=120°，
∴重叠部分面积S=S四边形OFBG=S△OFB+S△BOG=S△OFB+S△AOF=S△AOB。
∵O是正△ABC中心，
∴S△AOB=S△BOC=S△COA，且S△AOB+S△BOC+S△COA=S△ABC，
∴S△AOB=1/3S△ABC，故S=1/3S△ABC。
即△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的1/3。

10. 如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,点 $A$,$B$,$D$ 均在小正方形的顶点上,且点 $B$,$C$ 在 $\overset{\frown}{AD}$ 上,$\angle BAC = 22.5^{\circ}$.
(1) 请在图中标出圆心 $O$ 的位置；
(2) 求 $\overset{\frown}{BC}$ 的长.

答案：
(1)圆心O在点B正下方，且$OB=5$，图略；
(2)$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{5\pi}{4}$