《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

9. 1672年,丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年,意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论,并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你按照下面数学家们的方法,完成下面的作图题：
如图,已知$\odot O$,$A是\odot O$上一点,只用圆规将$\odot O$的圆周四等分.(按如下步骤完成,保留作图痕迹)
①以点$A$为圆心,$OA$长为半径,自点$A$起,在$\odot O上逆时针方向顺次截取\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$；
②分别以点$A$、点$D$为圆心,$AC$长为半径作弧,两弧交于$\odot O上方的点E$处；
③以点$A$为圆心,$OE长为半径作弧交\odot O于G$,$H$两点,则点$A$,$G$,$D$,$H将\odot O$的圆周四等分.
第9题图

答案：
如右图所示

10. 如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,$\odot O$为它的外接圆,点$P是\overset{\frown}{BC}$上任一点.
(1)图中与$\angle PBC$相等的角为______；
(2)试猜想出三条线段$PA$,$PB$,$PC$之间的数量关系,并证明.
第10题图

答案：
(1)∠PAC;
(2)PB+PC=PA,证明略

11. 如图,$AB是\odot O$的直径,$D为\overset{\frown}{AC}$的中点,$DE \perp AB于点E$,交$AC于点F$.
(1)求证：$AF= DF$；
(2)延长$AC至H$,若$\angle BHF= \angle OFH$,求$\dfrac{OF}{BH}$的值.
第11题图

答案：
(1)连接AD,证∠ADF=∠DAF,可得AF=DF;
(2)设BD交AC于点G.可证$OF\equalparallel\frac{1}{2}BG$,$BG=BH$.故$\frac{OF}{BH}=\frac{OF}{BG}=\frac{1}{2}$.