《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

12. 若关于$x的一元二次方程x^2 - 2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的大致图象可能是( )

A.
B.
C.
D.

答案： B

13. 方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$的根的判别式的值是______。

答案： 4

14. 若$x^2 - mx + 9$是完全平方式,则$m = $______。

答案： ±6

15. 若$|m + 1| + \sqrt{n - 2} = 0$,则方程$x^2 + 3mx - mn = 0$的根是______。

答案： $x_{1}=1,x_{2}=2$

16. 在实数范围内定义运算“☆”,其规则为：$a☆b = a^2 - b^2$,则方程$(4☆3)☆x = 13的根为x = $______。

答案： ±6

17. 已知关于$x的一元二次方程mx^2 + (2m - 1)x + m = 0有两个实数根x_1$,$x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1 - x_2 = \sqrt{5}$,求$m$的值。

答案：
(1)$m\leqslant \frac{1}{4}$且$m\neq 0$;
(2)$m=\frac{1}{5}$或$-1$

18. 材料 1：关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的两个实数根x_1$,$x_2和系数a$,$b$,$c$有如下关系：$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
材料 2：已知一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0的两个实数根分别为m$,$n$,求$m^2n + mn^2$的值。
解：$\because m$,$n是一元二次方程x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根,
$\therefore m + n = 1$,$mn = - 1$。
则$m^2n + mn^2 = mn(m + n) = - 1×1 = - 1$。
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0的两个实数根为x_1$,$x_2$,则$x_1 + x_2 = $______,$x_1x_2 = $______；
(2)类比：已知一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0的两个实数根为m$,$n$,求$m^2 + n^2$的值；
(3)提升：已知实数$s$,$t满足2s^2 + 3s - 1 = 0$,$2t^2 + 3t - 1 = 0$,且$s \neq t$,求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。

答案：
(1)$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$;
(2)$\frac{13}{4}$;
(3)$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$