《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图,以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心、AB 为半径作圆,交 AD,BC 于 E,F,延长 BA 交⊙A 于 G,求证：$\overset{\frown}{GE}= \overset{\frown}{EF}$。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC（平行四边形对边平行）。
∵A为圆心，AB为半径，
∴AG=AE=AF=AB（同圆半径相等）。
∵AD//BC，AF为截线，
∴∠DAF=∠AFB（两直线平行，内错角相等）。
在△ABF中，AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB（等边对等角），
∴∠DAF=∠ABF（等量代换）。
∵AD//BC，AB为截线，
∴∠GAE=∠ABF（两直线平行，同位角相等），
∴∠GAE=∠DAF（等量代换）。
∵E在AD上，
∴∠EAF=∠DAF，
∴∠GAE=∠EAF（等量代换）。
∵在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{GE}= \overset{\frown}{EF}$。

9. 如图,△ABC 是等边三角形,AB = 10 cm。
(1)求∠AOB 的度数；
(2)求⊙O 的半径。

答案：
(1)$120°$;
(2)$\frac{10\sqrt{3}}{3}$cm

10. 如图,A,B,C,D 是半径为 5 的⊙O 上的点,∠AOB = ∠COD。
(1)求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$；
(2)若 E 为 AC 的中点,BD = 8,求 BE 的长。

答案：
(1)略;
(2)$BE=2$

11. 如图,⊙O 的半径 OA⊥OC,点 D 在$\overset{\frown}{AC}$上,且$\overset{\frown}{AD}= 2\overset{\frown}{CD}$,OA = 4。
(1)∠COD = ______；
(2)求弦 AD 的长；
(3)P 是半径 OC 上一动点,连接 AP,PD,请求出 AP + PD 的最小值。

答案：
(1)$30°$;
(2)4;
(3)$4\sqrt{3}$

12. 如图,A,B,C,D 都在⊙O 上,∠AOB + ∠COD = $90^{\circ}$。
(1)将△COD 绕点 O 逆时针旋转得到△BOE,使 OC 与 OB 重合,画出旋转后的图形；
(2)在(1)的条件下,求∠ABE 的度数；
(3)若 AB = 2,CD = $\sqrt{2}$,求⊙O 的半径。

答案：
(1)略;
(2)$\angle ABE=135°$;
(3)$\odot O$的半径长为$\sqrt{5}$