《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 1 $,分别求符合下列条件时 $ a $ 的值.
(1)经过点 $ (-3, 2) $；
(2)与 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的开口大小相同,方向相反.

答案：
(1)$ a=\frac{1}{3} $;
(2)$ a=-\frac{1}{2} $

9. 如图,抛物线 $ C_1: y = \frac{1}{2}x^2 $ 与抛物线 $ C_2: y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 相交于 $ A $,$ B $ 两点,抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 的顶点为 $ C $.
(1)求 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(2)试证明四边形 $ AOBC $ 是菱形.

答案：
(1)$ A(-\sqrt{2},1),B(\sqrt{2},1),C(0,2) $;
(2)$ OB=BC=OA=AC=\sqrt{3} $,
∴四边形 AOBC 是菱形.(方法二:证 AB,OC 互相垂直平分)

10. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 2(m - 1)x + 2m - m^2 $ 的图象关于 $ y $ 轴对称,其顶点为 $ A $,与 $ x $ 轴相交的两交点为 $ B $,$ C $ (点 $ B $ 在点 $ C $ 左侧).
(1)求 $ B $,$ C $ 两点的坐标；
(2)求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案：
(1)$ B(-1,0),C(1,0) $;
(2)1