《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

7. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$,连接对角线 $AC$,点 $E$ 为 $BC$ 边上一点,将线段 $AE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$ 得到线段 $AF$,点 $E$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $CD$ 上,过点 $F$ 作 $FM\perp AC$ 于点 $M$.
(1)求证：$BE = FM$；
(2)求 $BE$ 的长度.
第7题图：

答案：
(1)略;
(2)BE=4√2-4

8. 已知 $\triangle ABC$ 是等边三角形,$AB = 8$,点 $D$ 在 $BC$ 上,$BD = 6$,点 $E$ 是边 $AB$ 上一动点,将 $DE$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $DF$.
(1)如图 1,当点 $F$ 恰好落在 $AC$ 边上时,求线段 $BE$ 的长；
(2)如图 2,若点 $F$ 到 $DE$ 的距离 $FG= \frac{\sqrt{93}}{2}$,求线段 $BE$ 的长.

第8题图：
图1：
图2：

答案：
(1)BE=2;
(2)BE=5

9. 【问题背景】
如图 1,在四边形 $ABCD$ 中,若 $BC = CD$,$\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$,则 $AC$ 平分 $\angle BAD$. 小明为了证明这个结论,将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$,请帮助小明完成他的作图.
【迁移应用】
如图 2,在五边形 $ABCDE$ 中,$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$,$AB = BC$,$AE + CD = DE$,求证：$BD$ 平分 $\angle CDE$.
第9题图：
图1：
图2：

答案： 【问题背景】
作图：以点C为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，使点B与点D重合（
∵BC=CD），得到对应点A'，连接A'D，则△A'DC即为△ABC旋转后的图形。
【迁移应用】
证明：
1. 将△BAE绕点B顺时针旋转，使BA与BC重合，得△BCE'。
2.
∵AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∴点A与点C重合，AE=CE'，∠BCE'=∠A=90°，BE=BE'。
3.
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE'+∠BCD=180°，故E'、C、D共线，E'D=E'C+CD=AE+CD。
4.
∵AE+CD=DE，
∴E'D=DE。
5. 在△BDE和△BDE'中，$\left\{\begin{array}{l} BE=BE' \\ BD=BD \\ DE=E'D \end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDE'（SSS）。
6.
∴∠BDE=∠BDE'，又∠BDE'=∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，即BD平分∠CDE。