《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

13. 在 $ \triangle CAB $、$ \triangle DEF $ 中,$ CA = CB $,$ DE = DF $,$ \angle ACB = \angle EDF = 90° $。若把 $ \triangle DEF $ 的顶点 $ E $ 放在 $ AB $ 的中点处并绕 $ E $ 旋转,交直线 $ CA $、$ CB $ 于点 $ M $,$ N $,连接 $ CE $,$ MN $。
(1) 若 $ \triangle DEF $ 绕 $ E $ 旋转到如图 1 所示的位置,则 $ CN $,$ CM $,$ MN $,$ CE $ 之间有何确定的数量关系？
(2) 若 $ \triangle DEF $ 绕 $ E $ 旋转到如图 2 所示的位置,(1) 中的结论还成立吗？请证明。

答案：
(1)$CM+CN+MN=\sqrt{2}CE$;
(2)仍然成立,证明略

14. 已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $,$ E $ 是 $ BC $ 边上的点,将 $ \triangle ABD $ 绕点 $ A $ 旋转,得到 $ \triangle ACD' $,连接 $ D'E $。
(1) 如图 1,当 $ \angle BAC = 120° $,$ \angle DAE = 60° $ 时,求证：$ DE = D'E $；
(2) 如图 2,当 $ DE = D'E $ 时,$ \angle DAE $ 与 $ \angle BAC $ 有怎样的数量关系？说明理由；
(3) 如图 3,在 (2) 的条件下,当 $ \angle BAC = 90° $,$ BD $ 与 $ DE $ 满足怎样的数量关系时,$ \triangle D'EC $ 是等腰直角三角形？(直接写出结论,不必说明理由)

答案：
(1)略;
(2)$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC$;
(3)$DE=\sqrt{2}BD$