《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图,$D$,$E$ 分别是 $\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$DE$ 交 $AB$ 于 $M$,交 $AC$ 于 $N$,求证：$AM = AN$。
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答案： 证明：连接AD、AE。
∵D是$\overset{\frown}{AB}$中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}$（等弧所对圆周角等于弧度数的一半）。
∵E是$\overset{\frown}{AC}$中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}$（等弧所对圆周角等于弧度数的一半）。
∵∠ADE是$\overset{\frown}{AE}$所对圆周角，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$。
∵∠AED是$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角，
∴∠AED=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$。
在△ADM中，∠AMN是外角，
∴∠AMN=∠DAB+∠ADE。
在△AEN中，∠ANM是外角，
∴∠ANM=∠EAC+∠AED。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$，∠EAC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$，
∴∠AMN=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$，∠ANM=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$，
∴∠AMN=∠ANM。
∴AM=AN（等角对等边）。
结论：AM=AN。

9. 如图,$BC$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD \perp BC$,垂足为 $D$,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AF}$,$BF$ 和 $AD$ 相交于 $E$。试猜想 $AD$ 与 $BF$ 的长度之间的关系,并说明理由。
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答案： BF=2AD,理由略

10. 如图,在平面直角坐标系中,一个圆经过 $O(0,0)$,$A(3,5)$,$B(6,0)$ 三点,求该圆圆心的坐标。
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答案： (3,1.6)

11. 如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度 $AB = 3\ m$,弓形的高 $EF = 1\ m$,现计划安装玻璃,请帮工程师求出 $\overset{\frown}{AB}$ 所在圆 $O$ 的半径 $r$。
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答案： $\frac{13}{8}$m

12. 如图,这是由三个大小相同的正方形组成的“品”字形轴对称图案,测得顶点 $A$,$B$ 之间的距离为 $5$。现用一个半径为 $r$ 的圆形纸片将其完全覆盖,则 $r$ 的最小值是 ( )

A.$\frac{1}{2}\sqrt{17}$
B.$\frac{5}{8}\sqrt{17}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{17}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{17}$
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答案： B