《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

21. 20 世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线。当火箭运行了一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图,以发射点为原点,地平线为 $ x $ 轴,垂直于地面的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 $ y = ax^2 + x $ 和直线 $ y = -\frac{1}{2}x + b $。其中,当火箭运行的水平距离为 9 km 时,自动引发火箭的第二级。
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km,
① 直接写出 $ a $,$ b $ 的值；
② 火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km,求这两个位置之间的距离。
(2) 直接写出 $ a $ 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km。

答案：
(1)①$ a = -\dfrac{1}{15}, b = 8.1 $;②这两个位置之间的距离为8.4 km;
(2)当$ -\dfrac{2}{27} ＜ a ＜ 0 $时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.

22. 如图,已知直线 $ y = -x + 4 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $,$ B $,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 过 $ A $,$ B $ 两点,点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上一动点,过点 $ P $ 作 $ PC \perp x $ 轴于点 $ C $,交抛物线于点 $ D $。
(1) 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 是由 $ y = -2x^2 + 1 $ 平移得到的,其顶点为 $ M $,对称轴交 $ AB $ 于点 $ N $。
① 求抛物线所表示的函数的解析式；
② 是否存在点 $ P $,使得四边形 $ MNPD $ 为菱形？
(2) 当点 $ P $ 的横坐标为 1 时,是否存在这样的抛物线,使得 $ \triangle BPD $ 为直角三角形？

答案：
(1)①$ y = -2x^{2} + 7x + 4 $;②不存在;
(2)略