《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx + m - 1 = 0$ 的两个实数根 $x_{1}$,$x_{2}$ 的值分别是平行四边形 $ABCD$ 的两边 $AB$,$AD$ 的长。
(1) 如果 $x_{1}= 2$,试求四边形 $ABCD$ 的周长；
(2) 当 $m$ 为何值时,四边形 $ABCD$ 是菱形？

答案：
(1)四边形ABCD的周长为6;
(2)当$m=2$时,四边形ABCD是菱形

10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2(k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有两个不相等的实数根。
(1) 求实数 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $x = 0$ 是方程的一个根,请求出它的另一个根。

答案：
(1)$k＜1$;
(2)$x=4$

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(k + 1)x+\frac{1}{2}k - 1 = 0$。
(1) 求证：不论 $k$ 为何实数,方程总会有两个不相等的实数根；
(2) 当 $k = 4$ 时,用配方法解这个一元二次方程。

答案：
(1)$\Delta=k^{2}+5＞0$;
(2)$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$,$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$

12. 由两个全等的 $Rt\triangle ABE$ 和 $Rt\triangle ECD$ 构成如图所示的四边形 $ABCD$,已知直角三角形的直角边长分别为 $m$,$n$,斜边长为 $q$,分别以 $m$,$\sqrt{2}q$,$n$ 为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程 $mx^{2}+\sqrt{2}qx + n = 0$,称为勾股方程。
(1) 直接写出一个勾股方程；
(2) 若 $x = - 1$ 是勾股方程 $mx^{2}+\sqrt{2}qx + n = 0$ 的一个根,且四边形 $ABCD$ 的周长是 $6$,求四边形 $ABCD$ 的面积。

答案：
(1)$4x^{2}+5\sqrt{2}x+3=0$是勾股方程(答案不唯一);
(2)2