《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

7. 如图,分别画出下面各图中阴影部分关于点 $ O $ 成中心对称的图形.

答案： 对于图1：
阴影部分关于点$O$成中心对称的图形为右下部分（即原阴影部分沿点$O$对称后得到的图形，位于原图形的右下方，且形状相同、方向相反）。
对于图2：
阴影部分关于点$O$成中心对称的图形为左上部分（即原阴影部分沿点$O$对称后得到的图形，位于原图形的左上方，且形状相同、方向相反）。
对于图3：
阴影部分关于点$O$成中心对称的图形为右上部分（即原阴影部分沿点$O$对称后得到的图形，该部分有两个小正方形组成，位于原图形的右上方，且形状相同、方向相反）。
（作图略）

8. 如图 1,在平行四边形 $ ABCD $ 中,$ AB \perp AC $,$ AB = 1 $,$ BC = \sqrt{5} $,对角线 $ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ O $. 将直线 $ AC $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转,分别交 $ BC $ 和 $ AD $ 于点 $ E $ 和 $ F $.

(1) 试说明在旋转过程中,线段 $ AF $ 与 $ EC $ 总保持相等；
(2) 如图 2,证明：当旋转角为 $ 90° $ 时,四边形 $ ABEF $ 是平行四边形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AD//BC。
∴∠OAF=∠OCE（两直线平行，内错角相等）。
又∠AOF=∠COE（对顶角相等），AO=OC，
∴△AOF≌△COE（ASA）。
∴AF=EC。
(2)
∵旋转角为90°，
∴EF⊥AC，即∠AOE=90°。
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°。
∴∠BAC=∠AOE=90°，
∴AB//EF（同位角相等，两直线平行）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AF//BE。
∵AB//EF且AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

9. 如图,把矩形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,使得点 $ D $ 与点 $ B $ 重合,点 $ C $ 落在点 $ C' $ 的位置上.
(1) 试证明 $ \triangle BEF $ 是等腰三角形；
(2) 图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在,请指出是哪两个图形(不必说明理由,图中实线、虚线一样看待)；
(3) 若 $ AB = 4 $,$ AD = 8 $,求折痕 $ EF $ 的长度.

答案：
(1)略;
(2)梯形 CFED 和梯形 AEFB 是中心对称图形;
(3)$ 2\sqrt{5} $

10. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,$ EC $ 平分 $ \angle BED $.
(1) 试判断 $ \triangle BEC $ 是否为等腰三角形,并说明理由；
(2) 若 $ AB = 1 $,$ \angle ABE = 45° $,求 $ BC $ 的长；
(3) 在原图中画 $ \triangle FCE $,使它与 $ \triangle BEC $ 关于 $ CE $ 的中点 $ O $ 中心对称,此时四边形 $ BCFE $ 是什么特殊平行四边形？请说明理由.

答案：
(1)是等腰三角形;
(2)$ BC=\sqrt{2} $;
(3)四边形 BCFE 是菱形,说明理由略