《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图,$AB是半圆O$的直径,$C$,$D是半圆O上不同于A$,$B$的两点,$AD = BC$,$AC与BD相交于点F$.$BE是半圆O$所在圆的切线,与$AC的延长线相交于点E$.
(1)求证：$\triangle CBA \cong \triangle DAB$；
(2)若$BE = BF$,求证：$AC平分\angle DAB$.

答案：
(1)
∵AB是半圆O的直径，
∴OA=OB=OC=OD。在△OAD和△OBC中，OA=OB，OD=OC，AD=BC，
∴△OAD≌△OBC(SSS)，
∴∠OAD=∠OBC，即∠DAB=∠CBA。在△CBA和△DAB中，BC=AD，∠CBA=∠DAB，BA=AB，
∴△CBA≌△DAB(SAS)。
(2)
∵BE是切线，AB是直径，
∴BE⊥AB，∠ABE=90°。设∠CAB=α，则∠BEA=90°-α。
∵BE=BF，
∴∠BEA=∠BFE=90°-α。
∵∠BFE=∠AFD(对顶角)，
∴∠AFD=90°-α。
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，在Rt△ADF中，∠AFD+∠DAC=90°，即90°-α+∠DAC=90°，
∴∠DAC=α=∠CAB，
∴AC平分∠DAB。

9. 如图,$CD为\odot O$的直径,点$A为\odot O$上一点,连接$OA$,$AC$,过点$A作\odot O的切线AB$,与过点$O作CD的垂线交于点B$,$OB交AC于点P$.
(1)求证：$BA = BP$；
(2)若$OB = 4OP$,$CP = 8$,求$\odot O的直径CD$的长.

答案：
(1)证明略;
(2)CD=4√14

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 16$,$\angle BAC的平分线AD交BC于点D$,经过$A$,$D的\odot O交AB于E$,并且点$O在AB$上.
(1)求证：$BC是\odot O$的切线；
(2)求$CD的长及\odot O$的半径长.

答案：
(1)略;
(2)CD=6,r=7.5

11. 如图,$AB为\odot O$的直径,$C为\odot O$上一点,点$D是\overset{\frown}{BC}$的中点,$DE \perp AC于点E$,$DF \perp AB于点F$.
(1)判断$DE与\odot O$的位置关系,并证明你的结论；
(2)求$\frac{OF}{AC}$的值.

答案：
(1)相切,证明略;
(2)OF/AC=1/2