《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,点 E 在对角线 AC 上,EC = BC = DC.
(1)若∠CBD = $39^{\circ}$,求∠BAD 的度数；
(2)求证：∠1 = ∠2.
]

答案：
(1)$78^{\circ }$;
(2)略

9. 如图,圆内接四边形 ABCD 的外角∠DCH = ∠DCA,DP⊥AC,垂足为 P,DH⊥BH,垂足为 H,求证：CH = CP,AP = BH.
]

答案： 证明：
1.
∵∠DCH=∠DCA（已知），即∠DCP=∠DCH，
DP⊥AC，DH⊥BH（已知），

∴∠DPC=∠DHC=90°（垂直定义）。
在△DPC和△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DCP=∠DCH,\\ ∠DPC=∠DHC,\\ CD=CD,\end{array}\right.$

∴△DPC≌△DHC（AAS）。

∴CH=CP（全等三角形对应边相等）。
2.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DAC=∠DBC（同弧所对的圆周角相等），即∠DAP=∠DBH。
由（1）知DP=DH（全等三角形对应边相等）。
在△DPA和△DHB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DAP=∠DBH,\\ ∠DPA=∠DHB=90°,\\ DP=DH,\end{array}\right.$

∴△DPA≌△DHB（AAS）。

∴AP=BH（全等三角形对应边相等）。
综上，CH=CP，AP=BH。

10. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,D 是$\overset{\frown}{AC}$上一点,P 是 AB 的延长线上一点,连接 AD,DC,CP.
(1)求证：∠ADC - ∠BAC = $90^{\circ}$；
(2)若∠ACP = ∠ADC,⊙O 的半径为 3,CP = 4,求 AP 的长.
]

答案：
(1)略;
(2)$AP=8$

11. 如图,在△ABC 中,AB = BC = 2,以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC,AC 于点 D,E,且点 D 为 BC 的中点.
(1)求证：△ABC 为等边三角形；
(2)求 DE 的长；
(3)在线段 AB 的延长线上是否存在一点 P,使△PBD ≌ △AED?若存在,请求出 PB 的长；若不存在,请说明理由.
]

答案：
(1)略;
(2)1;
(3)1

12. 如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,E 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,连接 AE,DE,CE.
(1)求证：AE = DE；
(2)求证：AE + CE = $\sqrt{2}$DE；
(3)若 CE = 1,求四边形 AECD 的面积.
]

答案：
(1)略;
(2)略;
(3)$S_{四边形AECD}=\sqrt {2}+\frac {3}{2}$