《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

9. 用配方法解下列方程：
(1) $ 2x^{2}+x - 1 = 0 $；
(2) $ 3x^{2}-6x = 8 $.

答案：
(1)$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=-1$;
(2)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{33}}{3}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{33}}{3}$

10. 已知三角形的两边长分别为 $ 4 $ 和 $ 7 $,第三边的长是方程 $ x^{2}-8x + 12 = 0 $ 的根,求这个三角形的周长.

答案： 17

11. 【项目学习】“我们把多项式 $ a^{2}+2ab + b^{2} $ 及 $ a^{2}-2ab + b^{2} $ 叫作完全平方式”.
如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形：先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.
例：当 $ a $ 取何值时,代数式 $ a^{2}+6a + 8 $ 有最小值？最小值为多少？
解：$ a^{2}+6a + 8 = a^{2}+6a + 3^{2}-3^{2}+8 = (a + 3)^{2}-1 $.
因为 $ (a + 3)^{2}\geqslant 0 $,所以 $ a^{2}+6a + 8\geqslant -1 $.
因此,当 $ a = -3 $ 时,代数式 $ a^{2}+6a + 8 $ 有最小值,最小值为 $ -1 $.
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
(1)当 $ x = $______时,代数式 $ x^{2}-2x - 1 $ 有最小值,最小值为______；
(2)当 $ x $ 取何值时,代数式 $ 2x^{2}+8x + 12 $ 有最小值？最小值为多少？
【拓展提高】
(3)当 $ x $,$ y $ 取何值时,代数式 $ 5x^{2}-4xy + y^{2}+6x + 25 $ 有最小值？最小值为多少？

答案：
(1)1,$-2$;
(2)当$x=-2$时,原式取得最小值,最小值为4;
(3)当$x=-3$,$y=-6$时,原式取得最小值,最小值为16

12. 若 $ a $,$ b $,$ c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边长,且 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+200 = 12a + 16b + 20c $,请判断这个三角形的形状.

答案： 直角三角形