《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

7. (1)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D$,$E在BC$上,$\angle DAE = 45^{\circ}$,为了探究$BD$、$DE$、$CE$之间的等量关系,现将$\triangle AEC绕点A顺时针旋转90^{\circ}后成\triangle AFB$,连接$DF$,经探究,你所得到的$BD$,$DE$,$CE$之间的等量关系式是______;
(2)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC$,$D$,$E在BC$上,$\angle DAE = 60^{\circ}$,$\angle ADE = 45^{\circ}$,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究$BD$,$DE$,$CE$之间的等量关系,并证明你的结论.

答案：
(1)$BD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$;
(2)$BD^{2}+DE^{2}=CE^{2}$

8. 如图,将矩形$ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG$,点$B与点E$对应,点$E恰好落在AD$边上,$BH\perp CE交于点H$.
(1)求证:$AB = BH$;
(2)连接$BG交CH于O$,已知$AB = 5$,$BC = 13$,求$BG$的长.

答案：
(1)略;
(2)$BG=2\sqrt {61}$

9. 【问题背景】(1)如图1,$\triangle ABD$,$\triangle AEC$都是等边三角形,$\triangle ACD由\triangle AEB$通过旋转变换得到,请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小.
【尝试应用】(2)如图2,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,分别以$AC$,$AB$为边,作等边三角形$ACD和等边三角形ABE$,连接$ED$,并延长交$BC于点F$,连接$BD$.
①求证:$\triangle ACB\cong\triangle ADE$;②若$BD\perp BC$,求$\frac{DF}{DE}$的值.

答案：
(1)旋转中心是点A,旋转方向是顺时针,旋转角的大小是60°;
(2)①
∵△ACD和△ABE都是等边三角形,
∴AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴△ACB≌△ADE.②
∵△ADE≌△ACB,
∴∠ADE=∠ACB=90°,DE=CB.
∵∠ADC=∠ACD=60°,
∴∠DCF=∠CDF=30°,
∴CF=DF.
∵BD⊥BC,
∴∠BDF=30°,
∴BF=$\frac {1}{2}$DF.设BF=x,则CF=DF=2x,DE=BC=3x,
∴$\frac {DF}{DE}=\frac {2}{3}$.