《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

15. 如图,一小球从斜坡的 $ O $ 点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数 $ y = ax^{2} + bx $($ a ＜ 0 $)刻画,斜坡可以用一次函数 $ y = \frac{1}{4}x $ 刻画,小球飞行的水平距离 $ x $(单位：米)与小球飞行的高度 $ y $(单位：米)的变化规律如表所示：
| $ x $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ m $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ | $ 7 $ | …$ $ |
| $ y $ | $ 0 $ | $ \frac{7}{2} $ | $ 6 $ | $ \frac{15}{2} $ | $ 8 $ | $ \frac{15}{2} $ | $ n $ | $ \frac{7}{2} $ | …$ $ |

(1) ① $ m = $______,$ n = $______；
② 小球的落点是 $ A $,求点 $ A $ 的坐标。

(2) 小球的飞行高度 $ y $ 与飞行时间 $ t $(单位：秒)满足关系：$ y = -5t^{2} + vt $。
① 小球飞行的最大高度为______米；
② 求 $ v $ 的值。

答案：
(1)①3,6;②$A\left( \dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8}\right)$;
(2)①8;②$y=-5t^{2}+vt=-5\left( t-\dfrac{v}{10}\right)^{2}+\dfrac{v^{2}}{20}$,则$\dfrac{v^{2}}{20}=8$,解得$v=4\sqrt{10}$(负值舍去).

16. 随着近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 $ y_{1} $ 与投资量 $ x $ 成正比例关系,如图 1 所示；种植花卉的利润 $ y_{2} $ 与投资量 $ x $ 成二次函数关系,如图 2 所示。(注：利润与投资量的单位：万元)
(1) 分别求出利润 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 关于投资量 $ x $ 的函数解析式；
(2) 如果这位专业户以 $ 8 $ 万元资金投入种植花卉和树木,那么他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

答案：
(1)$y_{1}=2x,y_{2}=\dfrac{1}{2}x^{2}$;
(2)利润$w=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+16$.他能获得的利润最大为32万元,最少为14万元

17. 如图,在平面直角坐标系中,$ O $ 是坐标原点,点 $ A $ 的坐标是 $ (-2, 4) $,过点 $ A $ 作 $ AB \perp y $ 轴,垂足为 $ B $,连接 $ OA $。
(1) 求 $ \triangle OAB $ 的面积；
(2) 设抛物线 $ y = -x^{2} - 2x + c $ 经过点 $ A $。
① 求 $ c $ 的值；
② 将抛物线向下平移 $ m $ 个单位长度,使平移后得到的抛物线顶点落在 $ \triangle OAB $ 的内部(不包括 $ \triangle OAB $ 的边界),求 $ m $ 的取值范围(直接写出答案即可)。

答案：
(1)4;
(2)①$c=4$;②$1＜m＜3$