《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

12. 已知抛物线 $ y = a(x - 3)^{2} + 4 $ 经过点 $ (5, -2) $。
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 若点 $ A(m, y_{1}) $,$ B(n, y_{2}) $($ m ＜ n ＜ 3 $)都在该抛物线上,试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小。

答案：
(1)$a=-\dfrac{3}{2}$;
(2)$y_{1}＜y_{2}$

13. 如图,经过定点 $ A $ 的直线 $ y = k(x - 2) + 1 $($ k ＜ 0 $)交抛物线 $ y = -x^{2} + 4x $ 于 $ B $,$ C $ 两点(点 $ C $ 在点 $ B $ 的右侧),$ D $ 为抛物线的顶点。
(1) 直接写出点 $ A $ 的坐标；
(2) 若 $ \triangle ACD $ 的面积是 $ \triangle ABD $ 面积的两倍,求 $ k $ 的值。

答案：
(1)$A(2,1)$;
(2)$k=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

14. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2mx + m^{2} - 1 $。
(1) 当二次函数的图象经过坐标原点 $ O(0, 0) $ 时,求二次函数的解析式；
(2) 如图,当 $ m = 2 $ 时,该抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,求 $ C $,$ D $ 两点的坐标；
(3) 在(2)的条件下,$ x $ 轴上是否存在一点 $ P $,使得 $ PC + PD $ 最短？若 $ P $ 点存

在

,求出 $ P $ 点坐标；若 $ P $ 点不存在,请说明理由。

答案：
(1)$y=x^{2}+2x$或$y=x^{2}-2x$;
(2)$C(0,3),D(2,-1)$;
(3)存在,$P\left( \dfrac{3}{2},0\right)$