《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

7. 如图,等腰直角三角形 $ ABC $ 的直角边 $ AC $ 与正方形 $ DEFG $ 的边 $ DG $ 都在直线 $ l $ 上(点 $ C $ 与点 $ D $ 重合),且它们都在直线 $ l $ 同侧,$ AC = DG = 6 $,现等腰直角三角形 $ ABC $ 以每秒 1 个单位长度的速度从左到右沿直线 $ l $ 运动,当点 $ A $ 运动到与点 $ G $ 重合时运动结束。设运动时间为 $ t $ s,$ \triangle ABC $ 与正方形 $ DEFG $ 重叠部分的面积为 $ S $。
(1) 请直接写出 $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式及自变量的取值范围；
(2) 当 $ S = 10 $ 时,求 $ t $ 的值。
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答案：
(1)$S=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}t^{2}(0\leqslant t\leqslant6)\\ -\frac{1}{2}t^{2}+6t(6＜t\leqslant12)\end{array}\right. $;
(2)当$S=10$时,t的值为10或$2\sqrt{5}$

8. 【综合与实践】
问题提出：
某兴趣小组开展综合实践活动：在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ BC = 2 $,$ D $ 为 $ AC $ 上一点,$ CD = \sqrt{2} $。动点 $ P $ 以每秒 1 个单位长度的速度从点 $ C $ 出发,在三角形边上沿 $ C \to B \to A $ 匀速运动,到达点 $ A $ 时停止,以 $ DP $ 为边作正方形 $ DPEF $。设点 $ P $ 的运动时间为 $ t $ s,正方形 $ DPEF $ 的面积为 $ S $,探究 $ S $ 与 $ t $ 的关系。
感知探究：
(1) 如图 1,当点 $ P $ 由点 $ C $ 运动到点 $ B $ 时,
① 当 $ t = 1 $ 时,$ S = $______；
② $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式为______。
(2) 当点 $ P $ 由点 $ B $ 运动到点 $ A $ 时,经探究发现 $ S $ 是关于 $ t $ 的二次函数,绘制成图象如图 2 所示。请根据图象信息,求 $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式及线段 $ AB $ 的长。
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答案：
(1)①3;②$S=t^{2}+2(0＜t\leqslant2)$;
(2)$AB=6$,抛物线的解析式为$S=t^{2}-8t+18(2\leqslant t\leqslant8)$