《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

10. 如图,$ \angle AOB = 120° $,点 $ P $ 为 $ \angle AOB $ 的平分线上的一个定点,且 $ \angle MPN $ 与 $ \angle AOB $ 互补,若 $ \angle MPN $ 在绕点 $ P $ 旋转的过程中,其两边分别与 $ OA $,$ OB $ 相交于 $ M $,$ N $ 两点,则以下结论：① $ PM = PN $；② $ OM + ON = OP $；③四边形 $ PMON $ 的面积保持不变；④ $ \triangle PMN $ 的周长保持不变。其中说法正确的是______(填序号)。

答案： ①②③

11. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ AB = 2 $,对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $,点 $ E $ 在线段 $ AO $ 上(与端点不重合)。将线段 $ EB $ 绕点 $ E $ 逆时针旋转 $ 90° $ 到 $ EF $ 的位置,点 $ F $ 恰好落在线段 $ CD $ 上,$ FH \perp AC $,垂足为 $ H $。
(1) 求证：$ \triangle OBE \cong \triangle HEF $；
(2) 设 $ OE = x $,求 $ OE^2 - CF $ 的最小值。

答案：
(1)略;
(2)$OE^2-CF$的最小值是$-\frac{1}{2}$.

12. 已知 $ □ ABCD $,请仅用无刻度直尺完成下列作图(保留作图痕迹)。
(1) 如图 1,$ E $ 是 $ □ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的点,在 $ CD $ 边上找一点 $ F $,使得 $ CF = AE $；
(2) 如图 2,$ P $ 是 $ □ ABCD $ 内部的点,过点 $ P $ 作直线 $ l $,使得直线 $ l $ 平分四边形 $ ABCD $ 的面积；
(3) 如图 3,$ E $ 为 $ BC $ 上一点,且 $ CE = CD $,作 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BP $。

答案：
(1) 连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于F，F即为所求。
(2) 连接AC、BD交于点O，过P、O作直线l，直线l即为所求。
(3) 连接DE，连接AC交DE于点F，连接BF并延长交AD于P，BP即为所求。