《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

18. 如图,足球场上守门员在 $ O $ 处开出一高球,球从离地面 $ 1 \, m $ 的 $ A $ 处飞出($ A $ 在 $ y $ 轴上),运动员乙在距点 $ O $ $ 6 \, m $ 的 $ B $ 处发现球在自己头的正上方达到最高点 $ M $,距地面约 $ 4 \, m $ 高,球落地后又一次弹起。据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半。
(1) 求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线所表示的函数的解析式；
(2) 足球第一次的落地点 $ C $ 距守门员多少米？(取 $ 4\sqrt{3} \approx 7 $)
(3) 运动员乙要抢到第二个落点 $ D $ 处,他应再向前跑多少米？(取 $ 2\sqrt{6} \approx 5 $)

答案：
(1)$y=-\dfrac{1}{12}(x-6)^{2}+4$;
(2)13 m;
(3)17 m

19. 如图,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),且点 $ B $ 的坐标为 $ (2, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0, 8) $。
(1) 求该抛物线所表示的函数的解析式；
(2) 若 $ D $ 为抛物线的顶点,求 $ \triangle ACD $ 的面积；
(3) 若 $ P $ 是平面直角坐标系内一点,是否存在以 $ A $,$ B $,$ C $,$ P $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)$y=-x^{2}-2x+8$;
(2)6;
(3)$(6,8)$或$(-6,8)$或$(-2,-8)$