《2025年长江作业本同步练习册九年级数学上册人教版》

9. 已知 $ \angle MAN = 30^{\circ} $, $ O $ 为边 $ AN $ 上一点,以 $ O $ 为圆心,2 为半径作 $ \odot O $,交 $ AN $ 于 $ D $, $ E $ 两点,设 $ AD = x $.
(1)如图 1,若 $ \odot O $ 与 $ AM $ 相切,求 $ x $ 的值;
(2)如图 2,当 $ x $ 取何值时, $ \odot O $ 与 $ AM $ 相交于 $ B $, $ C $ 两点,且 $ \angle BOC = 90^{\circ} $?

答案：
(1)2;
(2)$2\sqrt {2}-2$.

10. 如图,$ \triangle ABC $ 为等腰三角形,点 $ O $ 为底边 $ BC $ 的中点,$ OD \perp AB $,以点 $ O $ 为圆心,$ OD $ 为半径作 $ \odot O $,求证:$ AC $ 与 $ \odot O $ 相切.

答案： 证明：过点O作OE⊥AC于点E。
∵△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC，∠B=∠C。
∵O为BC中点，
∴BO=CO。
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°。
在△ODB和△OEC中，
∠B=∠C，
∠ODB=∠OEC，
BO=CO，
∴△ODB≌△OEC（AAS）。
∴OD=OE。
∵OD为⊙O半径，
∴OE为⊙O半径。
又
∵OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切。

11. 如图,$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,点 $ D $ 为 $ \overset{\frown}{BC} $ 的中点,连接 $ AD $, $ BD $, $ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AD $ 于点 $ E $,过点 $ D $ 作 $ DF // BC $ 交 $ AC $ 的延长线于点 $ F $.
(1)求证:$ DF $ 是 $ \odot O $ 的切线.
(2)求证:$ BD = ED $.

答案：
(1) 连接OD。
∵点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴OD⊥BC（垂径定理）。
∵DF//BC，
∴OD⊥DF（两直线平行，同位角相等）。
∵OD为$\odot O$半径，
∴DF是$\odot O$的切线。
(2)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
∵点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD（等弧所对圆周角相等）。
∵∠DEB=∠ABE+∠BAD（三角形外角性质），∠DBE=∠CBE+∠CBD，
又∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CBD，
∴∠DEB=∠DBE。
∴BD=ED（等角对等边）。

12. 如图,等边 $ \triangle ABC $ 的边长为 $ 4 \, cm $.点 $ D $ 从 $ B $ 点出发,沿 $ BA $ 方向运动到点 $ A $,到点 $ A $ 停止运动;点 $ E $ 从 $ B $ 点出发,沿 $ BC $ 方向运动. 点 $ D $, $ E $ 的速度分别为 $ 1 \, cm/s $, $ 2 \, cm/s $,它们同时出发且同时停止,设它们运动的时间为 $ t \, s $.
(1)求证:以 $ E $ 为圆心,以 $ DE $ 为半径的圆与直线 $ AB $ 相切;
(2)当时间 $ t $ 为何值时,以 $ E $ 为圆心、$ DE $ 为半径的圆与直线 $ AC $ 相切?

答案：
(1)略;
(2)1