《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

5. 直线 $l$ 过正方形 $ABCD$ 的顶点 $B$,点 $A$,$C$ 到直线的距离分别是 $2$ 和 $4$,则正方形边长的平方是多少？

答案： 过点A作AE⊥l于E，过点C作CF⊥l于F，则AE=2，CF=4，∠AEB=∠CFB=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°。
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，
∠AEB=∠BFC=90°，
∠BAE=∠CBF，
AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）。
∴BE=CF=4，BF=AE=2。
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2²+4²=4+16=20。
20

6. 如图,在高 $BC$ 为 $6$ m、长 $AC$ 为 $10$ m,宽为 $2.5$ m 的楼梯表面铺设地毯,若每平方米地毯 $50$ 元,请你算出铺设地毯至少需要花费多少钱.

答案： 由题可知，在直角三角形 $ABC$ 中，$AC = 10$ m 为斜边，$BC = 6$ m 为直角边。
根据勾股定理：
$AB =\sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ (m)。
地毯需要覆盖整个楼梯的表面，即水平长度 $AB$ 和垂直高度 $BC$，
所以地毯的总长度为：
$AB + BC = 8 + 6 = 14$ (m)。
地毯的宽度为 $2.5$ m，所以地毯的总面积为：
$14 × 2.5 = 35$ (平方米)。
每平方米地毯的价格为 $50$ 元，所以总费用为：
$35 × 50 = 1750$ (元)。
所以铺设地毯至少需要花费 $1750$ 元。

7. 如图,某学校 $A$ 与直线公路 $BD$ 相距 $3000$ 米,且与该公路上一个车站 $D$ 相距 $5000$ 米,现要在公路边建一个超市 $C$,使之与学校 $A$ 及车站 $D$ 的距离相等,那么该超市与车站 $D$ 的距离是多少米？

答案： 解：设超市与车站$D$的距离为$x$米，即$CD = x$，则$AC = x$。
过点$A$作$AB \perp BD$于点$B$，则$AB = 3000$米（学校到公路的距离），$\angle ABD = 90°$。
在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 5000^2 - 3000^2 = 25000000 - 9000000 = 16000000$，
$\therefore BD = 4000$米。
设$CD = x$，则$BC = BD - CD = 4000 - x$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$，即$3000^2 + (4000 - x)^2 = x^2$。
展开并化简：
$9000000 + 16000000 - 8000x + x^2 = x^2$，
$25000000 - 8000x = 0$，
解得$x = 3125$。
答：该超市与车站$D$的距离是$3125$米。

8. 有一块直角三角形纸片,两直角边 $AC = 6$ cm,$BC = 8$ cm.现将直角边 $AC$ 沿直线 $AD$ 折叠,使它落在斜边 $AB$ 上,且与 $AE$ 重合,求 $CD$ 的长.

答案： 设 $CD = x$ cm，则 $DB = (8 - x)$ cm。
由题可知 $AE = AC = 6$ cm。
在直角三角形$ABC$中，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（cm），
所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$（cm）。
由折叠可知$\triangle AED \cong \triangle ACD$，
所以$\angle AED = \angle C = 90^{\circ}$，
$DE = CD = x$ cm。
在直角三角形$BED$中，根据勾股定理：
$DE^{2} + BE^{2} = BD^{2}$，
即$x^{2} + 4^{2} = (8 - x)^{2}$，
$x^{2} + 16 = 64 - 16x + x^{2}$，
$16x = 48$，
解得$x = 3$。
所以$CD$的长为$3$ cm。

9. 小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子到地面还多 $1$ 米,当他把绳子的下端拉开 $5$ 米后,发现下端刚好接触地面.请问旗杆的高度是多少？

答案： 设旗杆的高度为 $x$ 米，则绳子的长度为 $x + 1$ 米。
当绳子下端拉开 $5$ 米后，形成直角三角形，旗杆高度为一条直角边 $x$，拉开的距离为另一条直角边 $5$，绳子长度为斜边 $x + 1$。
根据勾股定理：
$x^2 + 5^2 = (x + 1)^2$，
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$，
$25 = 2x + 1$，
$2x = 24$，
$x = 12$。
答：旗杆的高度是 $12$ 米。