《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

5. 已知三角形的三边$a$,$b$,$c的长分别为\sqrt{45} cm$,$\sqrt{80} cm$,$\sqrt{125} cm$,求这个三角形的周长和面积.

答案： 周长为$12\sqrt{5}\ cm$,面积为$30\ cm^2$
解:$\because a=\sqrt{45},b=\sqrt{80},c=\sqrt{125}$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$
即这个三角形是以$a,b$为直角边的直角三角形.
$\because a=\sqrt{45},b=\sqrt{80},c=\sqrt{125}$,
$\therefore$ 三角形的周长$=a+b+c$
$=12\sqrt{5}(cm)$
三角形的面积$=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}\sqrt{45}× \sqrt{80}$
$=30(cm^2)$

1. 已知$a$,$b$,$c满足(a-\sqrt{8})^{2}+\sqrt{b - 5}+|c - 3\sqrt{2}|= 0$.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)试问以$a$,$b$,$c$为边能否构成一个三角形？若能构成,求出三角形的周长；若不能,请说明理由.

答案：
(1)$a=2\sqrt{2},b=5,c=3\sqrt{2}$
(2)能,周长为$5\sqrt{2}+5$
解:
(1)$\because (a-\sqrt{8})^2\geqslant 0,(\sqrt{b-5})\geqslant 0$,
$|c-3\sqrt{2}|\geqslant 0$
$\therefore$ 由题意可得:$a=\sqrt{8},b=5,c=3\sqrt{2}$.
(2)能构成,由题
(1)可知:$a,c$为两较小的值
$\because a+c=5\sqrt{2}＞5$
$\therefore a+c＞b$
$\therefore$ 以$a、b、c$为边能构成三角形,其周长为
$a+b+c=2\sqrt{2}+5+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+5$.

2. 下列是二次根式进行分母有理化的计算过程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}= \sqrt{2}-\sqrt{1}$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}= \sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}= \sqrt{4}-\sqrt{3}$.
从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算：
$(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2018}})×(\sqrt{2019}+1)$.

答案： 2018
解:原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{2019}-\sqrt{2018})× (\sqrt{2019}+1)$
$=(\sqrt{2019}-1)× (\sqrt{2019}+1)$
$=2019-1=2018$