《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

10. 规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过 $70$ km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 $A$ 处的正前方 $30$ m 的 $C$ 处,过了 $2$ s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为 $50$ m,这辆小汽车超速了吗？请说明理由.(参考数据转换：$1$ m/s $= 3.6$ km/h)

答案： 由题意知，$AC = 30$ m，$AB = 50$ m。
根据勾股定理，在直角三角形$ABC$中，有：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}}$
$BC = \sqrt{50^{2} - 30^{2}}$
$BC = \sqrt{2500 - 900}$
$BC = \sqrt{1600}$
$BC = 40 m$
计算小汽车的速度：
$v = \frac{BC}{t} = \frac{40 m}{2 s} = 20 m/s$
将速度单位转换为 km/h：
$v = 20 m/s × 3.6 = 72 km/h$
由于 $72 km/h ＞ 70 km/h$，所以这辆小汽车超速了。

1. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.
如图,火柴盒的一个侧面 $ABCD$(是一个长方形)倒下到 $AB'C'D'$ 的位置,连接 $CC'$,设 $AB = a$,$BC = b$,$AC = c$.

(1)试用 $a$、$b$ 有关的代数式表示梯形 $BCC'D'$ 的面积.
(2)试用 $a$,$b$,$c$ 有关的代数式分别表示 $\triangle ABC$,$\triangle AD'C'$,$\triangle AC'C$ 的面积.
(3)由(1)和(2)的结论验证勾股定理：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

答案：
(1) 梯形 $ BCC'D' $ 中，上底 $ BC = b $，下底 $ C'D' = a $，高为 $ AB + AD = a + b $，面积 $ S = \frac{(上底 + 下底) × 高}{2} = \frac{(a + b)(a + b)}{2} = \frac{(a + b)^2}{2} $。
(2) $ \triangle ABC $ 中，$ AB = a $，$ BC = b $，$ \angle ABC = 90° $，面积 $ S_1 = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2}ab $；
$ \triangle AD'C' $ 中，$ AD' = b $，$ D'C' = a $，$ \angle AD'C' = 90° $，面积 $ S_2 = \frac{1}{2} × AD' × D'C' = \frac{1}{2}ab $；
$ \triangle AC'C $ 中，$ AC = AC' = c $，$ \angle CAC' = 90° $，面积 $ S_3 = \frac{1}{2} × AC × AC' = \frac{1}{2}c^2 $。
(3) 梯形 $ BCC'D' $ 的面积等于 $ \triangle ABC $、$ \triangle AD'C' $、$ \triangle AC'C $ 的面积之和，即：
$ \frac{(a + b)^2}{2} = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 $
化简得：$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = ab + \frac{c^2}{2} $
两边同乘 2：$ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 $
整理得：$ a^2 + b^2 = c^2 $。
综上，勾股定理得证。

2. 如图,已知在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 10$,$BC = 21$,$AC = 17$,求 $BC$ 边上的高.

答案： 设 $BC$ 边上的高为 $h$。
由勾股定理的逆定理，判断$\bigtriangleup ABC$是否为直角三角形，
因为$AB^{2} + AC^{2} =10^{2} + 17^{2} = 100 + 289 = 389$，$BC^{2} = 21^{2} = 441$，
$AB^{2} + AC^{2} \neq BC^{2}$，
考虑以$BC$为底时，利用海伦公式相关思路（此处虽不直接求面积，但用面积相等来求高），或直接用勾股定理列方程。
设$BD=x$，则$CD = 21 - x$，
在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$，即$10^{2} - x^{2} = h^{2}$ ①，
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$，即$17^{2} - (21 - x)^{2} = h^{2}$ ②，
由①②得$10^{2} - x^{2} = 17^{2} - (21 - x)^{2}$，
$100 - x^{2} = 289 - (441 - 42x + x^{2})$，
$100 - x^{2} = 289 - 441 + 42x - x^{2}$，
$42x = 100 + 441 - 289$，
$42x = 252$，
$x = 6$。
把$x = 6$代入①得$h^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$，
所以$h = 8$。
故$BC$边上的高为$8$。