《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

8. 在直角坐标系中,$ \triangle OBC $ 的顶点 $ O(0,0) $,$ B(-6,0) $,且 $ \angle OCB = 90^{\circ} $,$ OC = BC $,则点 $ C $ 关于 $ x $ 轴对称的点的坐标是(C).

A.$ (3,3) $
B.$ (-3,3) $
C.$ (-3,-3) $
D.$ (3\sqrt{2},3\sqrt{2}) $

答案： C

9. 已知点 $ A(x_1,-5) $,$ B(2,y_2) $.
(1)若 $ A $,$ B $ 关于 $ y $ 轴对称,则 $ x_1 = $-2,$ y_2 = $-5；
(2)若 $ A $,$ B $ 关于 $ x $ 轴对称,则 $ x_1 = $2,$ y_2 = $5.

答案：
(1)-2 -5
(2)2 5

10. 在坐标平面内,已知点 $ A(a,b) $,那么点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标为 (a,-b).

答案： (a,-b)

1. 如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)$ ABC $ 的顶点 $ A $,$ C $ 的坐标分别为 $ (-4,5) $,$ (-1,3) $.
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的 $ \triangle A'B'C' $；
(3)写出点 $ B' $ 的坐标.

答案：
解:
(1)
　　　　
(2)即△A'B'C'为所求作的图案.
(3)点B'的坐标为(2,1).

2. 在等腰 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ BC = 6 $.
(1)建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点坐标.
(2)若各顶点横坐标不变,纵坐标乘以 $ -1 $ 所得三个点连成三角形与原三角形是怎样的位置关系？画图说明.

答案： $(1)$ 建立直角坐标系并求顶点坐标
以$B$点为坐标原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立直角坐标系。
因为$\triangle ABC$是等腰$Rt\triangle$，$\angle B = 90^{\circ}$，$BC = 6$，所以$BA=BC = 6$。
根据坐标定义可得：$B(0,0)$，$C(6,0)$，$A(0,6)$。
$(2)$ 分析坐标变化后三角形的位置关系
原三角形顶点坐标为$A(0,6)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$。
各顶点横坐标不变，纵坐标乘以$-1$后，新顶点坐标为$A'(0, - 6)$，$B'(0,0)$，$C'(6,0)$。
在平面直角坐标系中，关于$x$轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数。
所以$\triangle A'B'C'$与$\triangle ABC$关于$x$轴对称。
综上，答案依次为：$(1)$ 以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建系，$A(0,6)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$； $(2)$ 关于$x$轴对称。

3. $ A $,$ B $ 两村在河边的同侧,以河边为 $ x $ 轴建立直角坐标系如图,则 $ A $,$ B $ 两村对应的坐标分别为 $ A(0,2) $,$ B(3,1) $,现要在河边 $ P $ 处修一个水泵站,分别向 $ A $,$ B $ 两村送水,点 $ P $ 应选在何处,才可使所用的水管最短？如果 1 个单位长度代表 $ 1\ km $,求出所需水管的长度(精确到 $ 0.01\ km $).

答案：
解:找点A关于x轴的对称点A'(0,-2),连接A'B与x轴交于点P,构造Rt△A'BC,因为A'C=3,BC=3,由勾股定理得
A'B=3$\sqrt{2}$≈4.24(km)
　　　　
∴AP+PB=A'P+PB =A'B=4.24(km)
∴点P选在点(2,0)处，所用水管最短，所需水管的长度约为4.24km.