《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

1. 如图,以$Rt\triangle ABC$的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边$AB = 4$,求图中阴影部分的面积。

答案： 8
　解:
∵△AHC是以AC为斜边的等腰直角三角形.
∴AH = HC.
∵AH² + HC² = AC²
∴AC² = 2AH²　　即AH² = $\frac{1}{2}$AC²
∵S△AHC = $\frac{1}{2}$AH·HC = $\frac{1}{2}$AH²
∴S△AHC = $\frac{1}{4}$AC²
　同理:S△AEB = $\frac{1}{4}$AB²,S△BFC = $\frac{1}{4}$BC²
　在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 4
∵AC² + BC² = AB²
∴AC² + BC² = 4² = 16
∵S阴影 = S△AHC + S△AEB + S△BFC = $\frac{1}{4}$AC² + $\frac{1}{4}$AB² + $\frac{1}{4}$BC²
∴S阴影 = $\frac{1}{4}$×16 + $\frac{1}{4}$×16 = 8

2. 如图所示是一种“羊头”形图案,其作法是从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②'……以此类推,若正方形①的边长为$64\ cm$,求正方形⑦的边长。

答案：
8cm
　解:如图，
∵向外作的三角形为等腰三角形，四边形为正方形，且正方形①的边长为64cm.
　　　
　由勾股定理可得:S₂ = $\frac{1}{2}$S₁,S₄ = $\frac{1}{2^{2}}$S₁,…,S₇ = $\frac{1}{2^{5}}$S₁
∴S₇ = $\frac{1}{2^{5}}$×64² = 64(cm²)
∴正方形⑦的边长为8cm.