《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

7. 实数$a$在数轴上对应点的位置如图所示,试比较$-1,1,-a,a$这四个数的大小,用“$＜$”连接.

答案： $a ＜ -1 ＜ 1 ＜ -a$

8. 面积分别为$1,2,3,4,5,6,7,8,9$的正方形,边长是有理数的正方形有哪几个？边长是无理数的正方形有哪几个？

答案： 对于面积为$S$的正方形，其边长为$\sqrt{S}$。有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数。
当$S = 1$时，边长$\sqrt{1}=1$，1是有理数；
当$S = 2$时，边长$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数；
当$S = 3$时，边长$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数；
当$S = 4$时，边长$\sqrt{4}=2$，2是有理数；
当$S = 5$时，边长$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是无理数；
当$S = 6$时，边长$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无理数；
当$S = 7$时，边长$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$是无理数；
当$S = 8$时，边长$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无理数；
当$S = 9$时，边长$\sqrt{9}=3$，3是有理数。
边长是有理数的正方形：面积为1，4，9的正方形；
边长是无理数的正方形：面积为2，3，5，6，7，8的正方形。

9. 公园有三个景点$A,B,C$构成如图所示的直角三角形,由于$B,C$两景点之间有一山相隔,为方便游客,准备在$B,C$间挖条隧道,已知$\angle ACB = 90 ^ { \circ },AB = 3$千米,$AC = 2$千米,试用计算器探索：这条隧道至少要修多少米？(精确到$1$米)

答案： 由题意可知，$\triangle ABC$为直角三角形，其中$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=3$（千米），$AC=2$（千米）。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$
$=\sqrt{3^{2}-2^{2}}$
$=\sqrt{9-4}$
$=\sqrt{5}\approx2.236$（千米）
$\approx2236$（米）
$\therefore$这条隧道至少要修$2236$米。

10. 如图,将直径为$1个单位长度的圆形纸片上的点A$放在数轴原点上,若将圆沿数轴正方向滚动一周,点$A恰好与点A ^ { \prime }$重合. 判断点$A ^ { \prime }$对应的数是有理数还是无理数,并写出点$A ^ { \prime }$对应的数.

答案： 点$A'$对应的数是无理数，具体为$\pi $。