《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

1. 已知一个等边三角形的高为 $3$,那么这个等边三角形的边长是有理数吗？如果是,请求出 $AB$ 的长；如果不是有理数,请求出 $AB^{2}$ 的值.

答案： 解：设等边三角形$ABC$，$AD\perp BC$于$D$，$AD = 3$，$AB = AC = BC$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AD\perp BC$，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$（三线合一）。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}$，设$BD = x$，则$AB = 2x$。
所以$(2x)^{2}=x^{2}+3^{2}$，即$4x^{2}=x^{2}+9$，$4x^{2}-x^{2}=9$，$3x^{2}=9$，$x^{2}=3$，则$AB^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}=12$。
因为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，所以$AB$不是有理数，$AB^{2}=12$。
综上，这个等边三角形的边长不是有理数，$AB^{2}$的值为$12$。

2. 由五个边长为 $1$ 的正方形组成的图案,如果把它们剪拼成一个正方形,那么所拼成的正方形的边长是整数吗？是分数吗？如何剪拼？

答案：
不是整数，不是分数，如图剪拼:

解:由于这5个正方形的面积和为5，所以所拼成的正方形的面积为5。设它的边长为a，则$a^{2}=5$，边长不是整数，也不是分数。从边长来看拼成一个正方形有些困难，但可以发现$5 = 1^{2}+2^{2}$，所以可以将正方形剪成直角边长分别为1和2的直角三角形，再用这些直角三角形拼成一个正方形，如图所示。